立体の体積の求め方の工夫

問題２１図のような１辺の長さが３ｃｍである立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨがある。辺ＢＦ上にＢＰ＝２ｃｍとなる点Ｐ、辺ＦＥ上にＦＱ＝２ｃｍとなる点Ｑ、辺ＦＧ上にＦＲ＝２ｃｍとなる点Ｒをとる。
➀線分ＤＰの長さを求めなさい。
②四角錘ＢＡＱＲＣの体積を求めなさい。

方針

長さはまず三平方の定理を考えてみる。
次に相似を考えてみる。
体積は色々延長して線を引くとうまくいくことが多い。

➀

上の図で△ＡＢＤに３平方の定理を用いて
ＤＢ²＝ＤＡ²＋ＡＢ²＝１８
ＢＰの長さは２

また下の図で△ＰＢＤに３平方の定理を用いて
$DP²=DB²+BP²$
$DP²=18+4$
$DP=\sqrt{22}$

②

以下のように補助線をひき点Ｓとおく。
四角錘ＢＡＱＲＣの体積は
(Ｓ－ＢＡＣ)ー(Ｑ－ＢＳＲ)となる。

Ｓ－ＢＡＣの体積を求める。


三角形の図より
△ＳＦＱ∽△ＳＡＢ
よって$FS$の長さを$x$とおくと
$FQ:AB=FS:SB$
$2:3=x:x+3$
$3x=2x+6$
$x=6$
よって
$BS=3+6=9$

Ｓ－ＢＡＣの体積は
$=3×3÷2×9÷3$
$=\displaystyle \frac{27}{2}$

Ｑ－ＢＳＲの体積を求める。
$9×2÷2×2÷3=6$

四角錘ＢＡＱＲＣの体積は(Ｓ－ＢＡＣ)－(Ｑ－ＢＳＲ)
$=\displaystyle \frac{27}{2}-6$
$=\displaystyle \frac{15}{2}cm³$