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立体の体積の求め方の工夫

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題21図のような1辺の長さが3cmである立方体ABCDEFGHがある。辺BF上にBP=2cmとなる点P、辺FE上にFQ=2cmとなる点Q、辺FG上にFR=2cmとなる点Rをとる。
➀線分DPの長さを求めなさい。
②四角錘BAQRCの体積を求めなさい。
立体の表面積と体積サンプル2図

方針

長さはまず三平方の定理を考えてみる。
次に相似を考えてみる。
体積は色々延長して線を引くとうまくいくことが多い。


立体の表面積と体積サンプル4
上の図で△ABDに3平方の定理を用いて
DB²=DA²+AB²=18
BPの長さは2

また下の図で△PBDに3平方の定理を用いて
$DP²=DB²+BP²$
$DP²=18+4$
$DP=\sqrt{22}$


立体の表面積と体積サンプル4
以下のように補助線をひき点Sとおく。
四角錘BAQRCの体積は
(S-BAC)ー(Q-BSR)となる。

S-BACの体積を求める。
立体の表面積と体積サンプル5図

三角形の図より
△SFQ∽△SAB
よって$FS$の長さを$x$とおくと
$FQ:AB=FS:SB$
$2:3=x:x+3$
$3x=2x+6$
$x=6$
よって
$BS=3+6=9$

S-BACの体積は
$=3×3÷2×9÷3$
$=\displaystyle \frac{27}{2}$

Q-BSRの体積を求める。
$9×2÷2×2÷3=6$

四角錘BAQRCの体積は(S-BAC)-(Q-BSR)
$=\displaystyle \frac{27}{2}-6$
$=\displaystyle \frac{15}{2}cm³$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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