スポンサーリンク

タイルの数と和の関係

LINE@始めました。 友達追加をよろしくお願い申し上げます。

勉強のやり方の相談・問題の解説随時募集しています! お気軽にLINEしてください。

友だち追加

513 Views

2019年3月16日裁量問題中学3年生, 難易度★★★

問題16図は黒い正六角形のタイルの周りに数字が書かれた正六角形のタイルを隙間なく配置したものである。ここで$n$と書かれたタイルを「第$n$層のタイル」とあらわす。例、第$1$層は$6$枚、第$2$層は$12$枚である。

(1)第$5$層のタイルは何枚あるか。
(2)第$n$層のタイルに書かれた数字の合計が$384$の場合、$n$の値を求めよ。
(3)第$m$層のタイルに書かれた数字の合計と第$n$層のタイルに書かれた数字の合計の差が$234$となった。$m$と$n$の組み合わせをすべて求めよ。ただし$m>n$とする。

方針

規則性を正しく理解するために、図を書いてみる。
規則性を理解するために第3層を書いてみる

(1)

これより第$1$層では$6=6×$$1$
これより第$2$層では$12=6×$$2$
これより第$3$層では$18=6×$$3$
・・・
これより第$n$層では$6×$$n$

これより第$5$層では$6×5=$$30$枚

タイルの枚数の合計はタイルの個数$×$その数字

(2)
これより第$1$層では$1$が$6$枚で合計は$1$$×6=6$
これより第$2$層では$2$が$12$枚で合計は$2$$×12=24$
これより第$3$層では$3$が$18$枚で合計は$3$$×18=54$
・・・
これより第$n$層では$n$が$6n$枚で合計は$n$$×6n=6n²$

今数字の合計が$384$なので、
$6n²=384$
$n²=64$
$n=8$
よって第$8$層

差が234なので・・・

(3)
$m>n$より、
$6m²-6n²=234$
$m²-n²=39$
$(m+n)(m-n)=39$

$m>n$より、$m-n>0$
これを満たすのは以下になる。
かけて$39$になればよいから
$m+n=39,m-n=1$・・・➀
$m+n=1,m-n=39$(ありえないので不要)
$m+n=3,m-n=13$(ありえないので不要)
$m+n=13,m-n=3$・・・➁
理由は$m,n$ともに正の数なのに、引き算をした数が足し算をした数を上回ることはない。

➀、➁を連立して解いた結果
$m=8,n=5$と$m=20,n=19$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

スポンサーリンク