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三角形の相似・合同の証明問題と面積比と相似比の問題

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2018年3月9日図形と証明中学3年生, 難易度★★★

問題3図のように、線分ABを直径とする円Oの円周上に点Cをとり、△ABCをつくる。
∠CABの二等分線と線分BC、円Oとの交点をそれぞれD,Eとし、線分CEをひく。
点Dから線分ACに平行な直線を引き、点Aを接点とする円Oの接線との交点をFとし、線分ABと線分DFの交点をGとする。
ただし、点Eは点Aと異なる点とする。

(1)△ACE∽△CDEを証明しなさい。
(2)△AGF≡△DGBを証明しなさい。
(3)AB=10cm,AC=4cmのとき、線分AGの長さを求めよ。
また、△CDEと△AGFの面積比を整数比で表せ。
図形と証明8

方針

辺と角の情報でどちらが多いか考える。この場合は角の方が多いから角に関する相似・合同の条件を考える。
(1)図の中に情報を書き込む

図形と証明9
仮定:∠CAD=∠DAG
円周角の定理:∠DCE=∠DAG
∠Eは共通

証明
△ACEと△CDEにおいて、
仮定より∠CAD=∠DAG・・・➀
円周角の定理より、
∠DCE=∠DAG・・・➁
➀、➁より
∠CAD=∠DCE・・・➂
∠Eは共通・・・➃

➂、➃より2角がそれぞれ等しいので、
△ACE∽△CDE

(2)図の中に情報を書き込む

図形と証明10
接点:∠FAG=90°
円周角の定理:∠ACB=90°
AC//FD(同位角):∠GDB=90°

仮定:∠CAD=∠DAG
AC//FD(錯角):∠CAD=∠GDA
これより二等辺三角形:AG=GD
対頂角:∠AGF=∠DGB

証明
△AGFと△DGBにおいて、
対頂角より∠AGF=∠DGB・・・➀

点Aは接点なので∠FAG=90°・・・➁
円周角の定理より∠BCA=90°
また、AC//FDで、同位角は等しいので、
∠BCA=∠BDG=90°・・・➂
➁と➂より∠FAG=∠BDG・・・➃

仮定より、∠CAD=∠DAG・・・➄
AC//FDで、錯角は等しいので、
∠CAD=∠GDA・・・➅
➄、➅より∠DAG=∠GDAの二等辺三角形なので、
AG=GD・・・➆

➀、➃、➆より
一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△AGF≡△DGB

(3)(1),(2)を利用する。

図形と証明11
(2)よりAG=DGなのでGDの長さを求める。
△ACB∽△GDB(2角が等しい)
なのでDGが求まる。

$AG=DG=x$とすると、
△ACB∽△GDBなので、
$AC:GD=AB:GB$
$4:x=10:10-x$
$x=\displaystyle \frac{20}{7}$

(3)相似をみつけ面積比を使う

△CDE∽ADB(円周角の定理より2角が等しい)
CDとADの長さを求めれば、面積比が出せる。
また、△ADGと△GDBは高さが等しいので、底辺の比が面積比になる。

三平方の定理より
$BD²=GB²-GD²$
$BD²=(\displaystyle \frac{50}{7})²-(\displaystyle \frac{20}{7})²$
$BD=\displaystyle \frac{10\sqrt{21}}{7}$

また、三平方の定理より
$BC²=AB²-AC²$
$BC²=(10)²-(4)²$
$BC=2\sqrt{21}$

これより
$CD=2\sqrt{21}-\displaystyle \frac{10\sqrt{21}}{7}$
$=\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{7}$

また、三平方の定理より
$AD²=AC²+CD²$
$AD²=(4)²+(\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{7})²$
$AD=\displaystyle \frac{4\sqrt{70}}{7}$

これより
△CDEと△ADBの面積比は
$CD²:DA²$
$=(\displaystyle \frac{4\sqrt{21}}{7})²:(\displaystyle \frac{4\sqrt{70}}{7})²$
$=3:10$

また、△ADGと△GDBは高さが等しいので、底辺の比が面積比になるので、
$AG:GB=\displaystyle \frac{20}{7}:\displaystyle \frac{50}{7}$
$AG:GB=2:5$

これより
△CDEの面積を$1$とすると
△ADBの面積は$\displaystyle \frac{10}{3}$
$AG:GB=2:5$なので、

△GDBの面積は
$\displaystyle \frac{10}{3}×\displaystyle \frac{5}{7}$
$=\displaystyle \frac{50}{21}$

よって△$CDE:$△$GDB=21:50$
なので△$CDE:$△$AGF=21:50$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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