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頻出の正四面体の体積

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★★

問題221辺が2cmの正四面体の体積を求めよ。
立体の表面積と体積82

(1)

図のように点をとる。
三角形ABCにおいて点Aから垂線をおろし、辺BCとの交点をMとする。
するとMは中点なのでCM=1
△ACMに3平方の定理を適用してAMの長さを求めると
$AM²=2²-1²$
$AM=\sqrt{3}$
立体の表面積と体積81
また点Aから面DCBに垂線をおろし交点をHとする。
次に三角形MADを考える。
$DH=x$とすると、
$HM=\sqrt{3}-x$

よって以下の方程式が成り立つ
$AD²-DH²=AM²-HN²$
$(2)²-x²=(\sqrt{3})²-(\sqrt{3}-x)²$
$4-x²=3-3+2\sqrt{3}x-x²$
$x=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}$

これより
$AH²=(2)²-(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}})²$
$AH=\sqrt{\displaystyle \frac{8}{3}}$

これより求める体積は
$2×\sqrt{3}÷2×\sqrt{\displaystyle\frac{8}{3}}÷3$
$=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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