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【面積】平行四辺形の面積の変わった求め方の問題

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2019年3月16日図形と証明中学3年生, 難易度★★

問題18図のような平行四辺形の面積を求めよ。

方針

平行四辺形の面積は底辺×高さであり、その高さを求める。
高さを出すために補助線を引いて求める。
補助線を引く

以下の図のように点を置き補助線を引く。
点$BE$の長さを$x$とおく。
(※$DE$の長さを$x$としてもいいが、計算が複雑になる。)

すると、△$DEB$に三平方の定理を用いて、
$DE²=DB²-BE²$
$DE²=5²-x²$
$DE=\sqrt{25-x²}$


更に△$ADE$に三平方の定理を用いて、
$AD²=AE²+DE²$
$9²=(7+x)²+(\sqrt{25-x²})²$
$81=49+14x+x²+25-x²$
$-14x=-7$
$x=\displaystyle \frac{1}{2}$

これより、
$DE=\sqrt{25-(\displaystyle \frac{1}{2})²}$
$DE=\sqrt{25-(\displaystyle \frac{1}{4})}$
$DE=\displaystyle \frac {3\sqrt{11}}{2}$

よって平行四辺形の面積は、
$7×\displaystyle \frac {3\sqrt{11}}{2}$
$=\displaystyle \frac {21\sqrt{11}}{2}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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