スポンサーリンク

立体と最短距離

LINE@始めました。 友達追加をよろしくお願い申し上げます。

勉強のやり方の相談・問題の解説随時募集しています! お気軽にLINEしてください。

友だち追加

3072 Views

2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★★★

問題2図のように、正三角錐がある。AB=AC=AD=9、BC=CD=BD=6とする。正三角錐の辺AB上にAE=3となる点Eをとり、点Eを通り、面BCDに平行な面EFGより上の正三角錐を切り取り、立体を作る。
立体の表面積と体積19立体の表面積と体積20
(1)△EFGの面積を求めよ。
(2)切り取った残りの立体の体積を求めよ。
(3)辺FC、GD上にそれぞれ点K,Lを、線分BK,KL,LBの長さの和が最も小さくなるようにとるとき、BK+KL+LBの長さを求めよ。
立体の表面積と体積21

方針立体の問題は、部分的に取り出して考えるとわかりやすい。

(1)の問題の考え方

➀面積を出すので、△EFGの辺の長さを求める。
➁△EFG高さを求め、面積を出す。

(2)の問題の考え方

➀A-EFGの体積を求める。
➁A-BCDの体積を求める。
➂➁-➀で残りの体積を出す。

(3)の問題の考え方

➀展開して図を書く。
➁点Aを中心とする円の上にB,C,Dがあるように考える。
➂相似な三角形を探す。

➀面積を出すので、△EFGの辺の長さを求める。

立体の表面積と体積22
図より、△AEF∽△ABCなので
$EF:BC=AE:AB$
$EF:6=3:9$
$EF=2$
同様に$FG=GE=2$となる。

➁△EFG高さを求め、面積を出す。

次に点EからFGに垂線を引き、交点をHとする。
立体の表面積と体積24
図よりFH=1、△EFHは30、60、90°の特別な三角形より、
$EH=\sqrt{3}$
これより△EFGの面積は
$FG×EH÷2$
$=2×\sqrt{3}÷2$
$=\sqrt{3}$

➀A-EFGの体積を求める。

(1)で面積は出ているので、高さを求める。
以下のように点Aから補助線を引く。

するとAI’が高さになる。次にEI’を求める。
※EI’が求まれば、三平方の定理よりAI’が求まるので。
わかりにくいので、△EFGを取り出して考える。
立体の表面積と体積27
するとI’は∠EFGの二等分線となる。よって
$EI’:IH’=2:1$より
$EI’=\displaystyle \frac{2}{3}×EH$
$EI’=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}$
よって△AEI’で三平方の定理を用いて、
$AI’²=AE²-EI’²$
$AI’²=3²+(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3})²$
$AI’=\displaystyle \frac{\sqrt{69}}{3}$
よってA-EFGの体積は
$\sqrt{3}×\displaystyle \frac{\sqrt{69}}{3}÷3$
$=\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{3}$

A-BCDの体積を求める。

体積比は相似比の3乗より
A-BCDの体積はA-EFGの体積の27倍となる。
よって$\displaystyle \frac{27\sqrt{23}}{3}$

➂➁-➀で残りの体積を出す。

➁-➀より
$\displaystyle \frac{26\sqrt{23}}{3}$

➀展開して図を書く。

立体の表面積と体積28

➁点Aを中心とする円の上にB,C,Dがあるように考える。

立体の表面積と体積29
BDに補助線を引くと、円周角の定理より図のような関係となる。
よって△BAC∽△CBK∽△KALとなる。
これよりBC=BK=BL=6、また、
$BA:BC=CB:CK$
$9:6=6:CK$
$CK=4$
ゆえに$AH=5$
$AH:HI=BC:CH$
$5:HI=6:4$
$HI=\displaystyle \frac{10}{3}$
よって求める長さは
$6+\displaystyle \frac{10}{3}+6$
$=\displaystyle \frac{46}{3}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

スポンサーリンク