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正六角形と体積

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★★

問題3図1は底面ABCDEFが1辺の長さが4cmである正六角形で、側面がすべて合同な長方形の六角柱ABCDEFGHIJKLを表しており、AG=6cmである。
立体の表面積と体積31
図2は、図1に示す立体において、点Gと点I、点Hと点J、点Hと点Lをそれぞれ結び、線分GIと線分HJ、HLとの交点をそれぞれP,Qとしたものである。
立体の表面積と体積32
(1)図2に示す立体において、三角錐BHPQの体積を求めよ。
(2)図1に示す立体において、点Dと点Kを結び、線分DK上に点Rを△ADRと四角形BCJGの面積比が1:2となるようにとるとき、線分DRの長さを求めよ。

方針立体の問題は、部分的に取り出して考えるとわかりやすい。

(1)の問題の考え方


体積を出すので、△HPQの面積を求める。
また、高さは図よりHBとなる。

(2)の問題の考え方


面積比がでているので、直接面積が求められないか考える。
四角形BCJGは台形なので面積が出せる。


△ADRの面積は面積比より出せる。
ここで四角形ADKLと➀の台形は合同だとわかれば、△ADKの面積がわかる。


△ADRと△ARKは高さが共通なので面積比は底辺の比に等しい。これよりDRが求まる。

➀体積を出すので、△HPQの面積を求める。

立体の表面積と体積33
図より、正六角形なので1つの内角は120°となる。
また△HGIはHG=HIの2等辺三角形となり、他の角度は30°。
同様に△GHL、△HIJも2等辺三角形となる。
すると∠QHP=60°となり、HQ=HPより、正三角形HPQとなる。
立体の表面積と体積34
更に∠HGIも30°より、△HQGは2等辺三角形となり、GQ=HQ、同様にHP=PIとなる。
よってGQ=QP=PIとなる。次にGIの長さを求める。
立体の表面積と体積35
図のように垂線を降ろし交点をUとすると、△HUGは30°、60°、90°の特殊な三角形より、
$GU:GH=\sqrt{3}:2$
$GU:4=\sqrt{3}:2$
$GU=2\sqrt{3}$
よって
$GI=4\sqrt{3}$

ゆえに
$QP=\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}$
また、HUは
$HU:GH=1:2$
$HU:4=1:2$
$HU=2$
これより△HPQの面積は
$\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}×2÷2$
$=\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}$
求める体積は

$\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}×6÷3$
=$\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}$

➀四角形BCJGは台形なので面積が出せる。

立体の表面積と体積36
垂線を降ろし交点をS、Tとする。それぞれの辺を求める。
BG=CJなので、片方の長さを求める。
△ABGに三平方の定理を用いて、
$BG²=AB²+AG²$
$BG²=4²+6²$
$BG=2\sqrt{13}$

次にGJの長さを求める。
△GHJは∠GHJ=90°の直角三角形より、
$GJ²=GH²+HJ²$
$GJ²=4²+(4\sqrt{3})²$
$GJ=8$

次にGSの長さを求める。
△BGSに三平方の定理を用いて、
$BS²=BG²-GS²$
$BS²=(2\sqrt{13})²+2²$
$BS=4\sqrt{3}$
これより、台形BCJGの面積は
$(4+8)×4\sqrt{3}÷2$
$=24\sqrt{3}$

➁△ADRの面積は面積比より出せる。

面積比より、△ADRの面積は
$=12\sqrt{3}$

ここで四角形ADKLと➀の台形は合同なので、
△ADKの高さが$4\sqrt{3}$
なので、△ADKの面積がわかる。
△ADKの面積は
$8×4\sqrt{3}÷2$
$=16\sqrt{3}$

これより、△AKRの面積は
$16\sqrt{3}-12\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}$

➂△ADRと△ARKは高さが共通なので面積比は底辺の比に等しい。これよりDRが求まる。

立体の表面積と体積37
高さが共通なので底辺の比は
これより
$DR:RK=12\sqrt{3}:4\sqrt{3}$
$DR:RK=3:1$

ゆえに
$DR:DK=3:4$
$DR:2\sqrt{13}=3:4$
$DR=\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{2}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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