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求める体積の出し方を工夫する

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題5
立体の表面積と体積39
1辺の長さが4cmの立方体ABCD-EFGHにおいて、点Pは辺ABの中点である。また、点Q,Rはそれぞれ辺EF、DC上の点であり、FQ=1cm、CR=1cmである。
このとき、4点P,Q,G,Cは同一平面上にある。
1、線分PQの長さを求めなさい。
2、線分PGの長さを求めなさい。
3、△QGRの面積を求めなさい。
4、4点B,Q,G,Rを頂点をする三角錐の体積を求めなさい。

方針立体の問題は、部分的に取り出して考えるとわかりやすい。

1の問題の考え方

線分PQの長さは3平方の定理より求まる。

2の問題の考え方

線分PGの長さも3平方の定理より求まる。

3の問題の考え方

四角形PQGRは4辺が同じなので、ひし形となる。
ひし形の面積の半分が求める面積である。

4の問題の考え方

直接求めることが難しい場合は、他の立体の体積を全体から引くことを考える。

線分PQの長さは3平方の定理より求まる。

Pから線分EFに垂線を引き交点をIとする。
△PQIで3平方の定理より、
$PQ²=PI²+IQ²$
$PQ²=4²+1²$
$PQ=\sqrt{17}$

線分PGの長さも3平方の定理より求まる。

△PBGで3平方の定理より、
$PG²=PB²+BG²$
$PG²=2²+\sqrt{32}²$
$PG=6$
(BGの長さは△BFGに3平方の定理を用いて出す。)

四角形PQGRは4辺が同じなので、ひし形となる。

よってひし形の面積は
$PG×RQ÷2$
$=6×\sqrt{32}÷2$
$=12\sqrt{2}$
ゆえに求める△QGRの面積は
$6\sqrt{2}$

他の立体の体積を全体から引くことを考える。

立体の表面積と体積40
図より求める体積は、
直方体BCGF-PJKLから
三角錐K-BRQ、F-QBG、C-BGR、J-GRQを引けばよい。
(実線に沿って包丁を入れるイメージで考える。)

この4つの体積は皆等しいので、
$((1×4÷2)×4÷3)×4$
$=\displaystyle \frac{32}{3}$
直方体の体積は
$1×4×4$
$=16$
求める体積は
$16-\displaystyle \frac{32}{3}$
$=\displaystyle \frac{16}{3}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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