式の展開と因数分解の練習問題1
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2019年3月16日式の展開と因数分解中学3年生
問1
次の式を展開しましょう。
(1)$(x+y+5)(x+y+3)$
(2)$(3x-4)(4x-y)$
(3)$5(x+6)(x-6)+2(2x-1)²$
(4)$(a-b+3)²$
(5)$(3x-2)²-(2x-1)(2x+1)$
(1)
$x+y=M$とする
$=(M+5)(M+3)$
$=(M²+8M+15)$
$=((x+y)²+8(x+y)+15)$
$=x²+2xy+y²+8x+8y+15$
(2)
$=12x²-3xy-16x+4y$
(3)
$=5(x²-36)+2(4x²-4x+1)$
$=5x²-180+8x²-8x+2$
$=13x²-8x-178$
(4)
$a-b=A$とおくと
$=(A+3)²$
$=A²+6A+9$
$=(a-b)²+6(a-b)+9$
$=a²-2ab+b²+6a-6b+9$
(5)
$=9x²-12x+4-(4x²-1)$
$=9x²-12x+4-4x²+1$
$=5x²-12x+5$
問2
$75$にできるだけ小さな自然数をかけてある数の2乗にするにはどの自然数をかければよいですか。
ポイントは素因数分解して2乗をみつける
$75$
$=3×5×5$
$=3×5²$
これより$3$をかければよい。
問3
$x=15$のとき、$(x-4)²-(x+3)(x-7)$の値を求めましょう。
ポイントは展開して計算を楽にする
$=x²-8x+16-(x²-4x-21)$
$=x²-8x+16-x²+4x+21$
$=-4x+37$
$=-60+37$
$=-23$
問4
連続する2つの偶数では大きい方の偶数の2乗から小さい方の偶数の2乗をひいた差は4の倍数になります。このことを証明しましょう。
$n$を整数とすると
小さい方の偶数は$2n$、大きい方の偶数は$2n+2$となる。
これより
$(2n+2)²-(2n)²$
$=(2n+2+2n)(2n+2-2n)$
$=(2+4n)(2)$
$=4(1+2n)$
これより4倍になる。
問5
次の式を因数分解しましょう。
(1)$(x-y)²+4(x-y)+4$
(2)$x²+xy-yz-zx$
(3)$(3x-1)²-(2x-5)²$
(4)$ax²-ay²-bx-by$
(1)
$x-y=M$とすると
$(x-y)²+4(x-y)+4$
$=M²+4M+4$
$=(M+2)²$
$=(x-y+2)²$
(2)
ポイントは
「次数の低い文字から着目」する
この場合は$y$or$z$
$z$に注目すると
$=x²+xy-z(y+x)$
$=x(x+y)-z(y+x)$
$=(x-z)(x+y)$
(3)
$3x-1=A$,$2x-5=B$とすると
$=(A)²-(B)²$
$=(A+B)(A-B)$
$=(3x-1+2x-5)(3x-1-2x+5)$
$=(5x-6)(x+4)$
(4)
$=a(x²-y²)-b(x+y)$
$=a(x+y)(x-y)-b(x+y)$
$=(x+y)(a(x-y)-b)$
$=(x+y)(ax-ay-b)$

不明点があればコメントよりどうぞ。
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