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体積と三平方の定理

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題4
立体の表面積と体積38
図のようにA,B,C,D,E,Fを頂点とし、∠DEF=90°の直角三角形DEFを底面の1つとする三角柱がある。
辺DFの中点をGとし、4点B,E,F,Gを結んで三角錐Pをつくる。
辺DEの長さを8cm、辺EFの長さを4cm、辺ADの長さを10cmとする。
(1)三角錐Pの体積を求めなさい。
(2)三角錐Pの辺BGの長さを求めなさい。

方針立体の問題は、部分的に取り出して考えるとわかりやすい。

(1)の問題の考え方


体積を出すので、△EFGの面積を求める。
また、高さは図よりBEとなる。

(2)の問題の考え方


△BEGは直角三角形なのでEGの長さを求め、3平方の定理でGBを求める。

➀体積を出すので、△EFGの面積を求める。

三角形DEFの面積は
$8×4÷2$
$=16$

△DEGと△FGEは底辺、高さが同じなので、△EFGの面積は
$16÷2$
$=8$

よって求める体積は
$8×10÷3$
$=\displaystyle \frac{80}{3}$

➀△BEGは直角三角形なのでEGの長さを求め、3平方の定理でGBを求める。

点Gが中点で、△DEFが直角三角形なので、点Gを中心とする円が3点D,E,Fを通る。
よって、GD=GF=GEとなる。
FDの長さを求める。
3平方の定理より、
$FD²=FE²+ED²$
$FD²=4²+8²$
$FD=4\sqrt{5}$

これより
$GE=2\sqrt{5}$

ゆえにGBは3平方の定理より、
$GB²=GE²+EB²$
$GB²=(2\sqrt{5})²+10²$
$GB=2\sqrt{30}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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