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カードと表裏の関係

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2019年3月16日裁量問題中学2年生, 中学3年生, 難易度★★

問題14片面が赤で、もう片面が青のカードが$10$枚あります。
すべて赤を上にして$1$列に並べられている。
また、$1$から$10$までの番号が書かれた$10$個の玉が入った箱があり、次の操作を$3$回行う。
操作
「箱から玉を取り出して、その玉の番号が$m$のとき、左から$m$番目のカードだけをひっくり返し、玉を箱に戻す。」
(1)左から$4$番目、$7$番目、$9$番目のカードの上の面が青になっている確率を求めましょう。
(2)左から$2$番目のカードだけ上の面が青になっている確率を求めましょう。

方針

きちんと場合分けをする。
順番は関係ないことに気づくと・・・

(1)
から$4$番目、$7$番目、$9$番目のカードの上の面が青になっていればいいので、
$1$回目の操作で$4$、$2$回目の操作で$7$、$3$回目の操作で$9$が出る場合。
$1$回目の操作で$4$、$2$回目の操作で$9$、$3$回目の操作で$7$が出る場合などがある。
これは全部で$6$通りある。
これより求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{10}×\displaystyle \frac{1}{10}×\displaystyle \frac{1}{10}×6$
$=\displaystyle \frac{3}{500}$

場合分けをきちんとする。

(2)
次の$2$通りがある。
1、$3$回とも$2$が出る場合
2、$3$回のうち$1$回は$2$が出て、$2$回目と$3$回目が同じ数の場合
となる。

1、$3$回とも$2$が出る場合の確率は
$\displaystyle \frac{1}{10}×\displaystyle \frac{1}{10}×\displaystyle \frac{1}{10}$
$=\displaystyle \frac{1}{1000}$

2、$3$回のうち$1$回は$2$が出て、$2$回目と$3$回目が同じ数の場合の確率は
$\displaystyle \frac{1}{10}×\displaystyle \frac{9}{10}×\displaystyle \frac{1}{10}×3$
$=\displaystyle \frac{27}{1000}$

これより求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{1000}+\displaystyle \frac{27}{1000}$
$=\displaystyle \frac{7}{250}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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