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三平方の定理の利用

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題11
立体の表面積と体積59
図1のように、三角錐ABCDがある。
立体の表面積と体積60
図2は図1の展開図である。
この展開図の四角形AEDFはひし形で、AD=8cm、EF=6cmで、線分ADとBCの交点をGとする。
立体の表面積と体積61
また、図の3はAから垂線を降ろし、線分GDとの交点をHとしたものである。
(1)図2において、△ABCの面積は四角形AEDFの面積の何倍か。
(2)図の3において、線分AHの長さを求めなさい。

方針

(1)の問題の考え方

点A,E,Fは図1では重なっていることに注目する。

(2)の問題の考え方

体積を求めてからやる方法、線分AHを2つの方法で表す方法のどちらでやるのか?

(1)点A,E,Fは図1では重なっているので

AB=BF、AC=CFとなる。
図2より、△ABC∽△AFEなので
(∠Aは共通、AB:AF=AC:AE=1:2)

面積比は
△$ABC:$△$AFE=1²:2²=1:4$
四角形AEDFは△AFEの面積の2倍なので、
四角形AEDFの面積比は8となる。
これより△ABCの面積は四角形AEDFの面積の
$\displaystyle \frac{1}{8}$倍

(2)どちらの方法でやるのか考える。

体積を求めるには90度の所を探すが・・・見当たらないので、線分AHを2つの方法で出してみる。
つまりAG、GHの長さとAD、DHの長さを考える。
ADとFEの交点をIとおく。

AGの長さは、△ABC∽△AFEなので、
$AG:AI=1:2$
$AG:4=1:2$
$AG=2$
よって$GD=6$

図3でADの長さはFDの長さと同じ、つまりAFの長さと同じとなる。ひし形の対角線は直角に交わる。
またAI=4、AF=3なので特別な三角形より、
AF=5
GH=xとすると
△AGHに三角形の定理を用いて、
$AH²=AG²-GH²$
$AH²==4-x²$・・・➀

また
△ADHに三角形の定理を用いて、
$AH²=AD²-DH²$
$AH²=5²-(6-x)²$
$AH²=-x²-12x-11$・・・➁
➀=➁より、
$4-x²=-x²-12x-11$
$x=\displaystyle \frac{5}{4}$

これを➀に代入して
$AH²=4-(\displaystyle \frac{5}{4})²$
$AH²=4-(\displaystyle \frac{5}{4})²$
$AH=\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{4}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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