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方程式と解の関係

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2018年3月9日方程式中学3年生, 難易度★★★

問題12(12)
$a$を正の定数とする。$x$の$2$次方程式$x²+(2a+1)x-4a²+2=0$の解の$1$つが$a$であるとき、$a$の値ともう片方の値を求めなさい。
(13)
$2$次方程式$x²+ax+b=0$の解が、$x=-2±\sqrt{5}$となるとき、定数$a、b$の値を求めなさい。
(14)
$a、b$を自然数とする。$x$の$2$次方程式$ax²-6ab=x$は$x=7$を解に持つ。条件を満たす$a、b$の値の組をすべて求めよ。

(12)
$x=a$を2次方程式に代入して
$a²+(2a+1)a-4a²+2=0$
$a²+2a²+a-4a²+2=0$
$-a²+a+2=0$
$a²-a-2=0$
$(a-2)(a+1)=0$
$a=2$($a$は正の定数)


よって$2$次方程式のもう片方の値は
$x²+5x-14=0$
$(x+7)(x-2)=0$
$x=-7$


(13)
$2$次方程式の解が$x=-2±\sqrt{5}$より
$x=-2±\sqrt{5}$
$x+2=±\sqrt{5}$
$(x+2)²=5$
$x²+4x-1=0$
$a=4、b=-1$


(14)
$x=7$を代入すると
$49a-6ab=7$
$a(49-6b)=7$
$a=1$か$a=7$のときが考えられる。
$a=1$のとき$49-6b=7$なので$b=7$
$a=7$のとき$49-6b=1$なので$b=8$


$(a,b)=(1,7)(7,8)$



不明点があればコメント欄よりお願いします。

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