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方程式と解の条件

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2018年3月9日方程式中学3年生, 難易度★★

問題11$x$ついての$2$つの$2$次方程式$x²-2x-(k+6)=0$・・・①と$x²+kx+2k=0・・・②$
について各問いに答えよ。
$1$.➀の解の$1$つが$5$のとき、②の解をすべて求めよ。
$2$.整数$n$が➀と②の共通の解になるとき、$k$と$n$の値を求めよ。

$1$.
➀に$x=5$を代入すると
$25-10-(k+6)=0$
$k=9$
これを②に代入して
$x²+9x+18=0$
$(x+3)(x+6)=0$
$x=-3、-6$

$2$.
➀、②に$x=n$を代入して
$n²-2n-(k+6)=0$・・・①
$n²+kn+2k=0$・・・②
➀-②より
$-2n-k-6-kn-2k=0$
$n(2+k)+6+3k=0$
$n(2+k)+3(2+k)=0$
$(2+k)(n+3)=0$
$n=-3、k=-2$

$n=-3$を②に代入すると
$9-3k+2k=0$
$k=9$
$k=-2$を②に代入すると
$n²-2n-4=0$
$n$は解の公式で求められるが・・・これは$n$は整数の条件に反する。
よって$k$と$n$は$k=9、n=-3$

不明点があればコメント欄よりお願いします。

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