関数と平行

問題５

図のように、関数$y=x²$のグラフ上に、$x$座標が$2$である点$A$と、点$A$と$y$座標が等しく$x$座標が異なる点$B$をとり、点$A$と点$B$を結びます。また、関数$y=\displaystyle \frac{x²}{4}$のグラフ上に、$x$座標が$5$である点$C$をとり、点$C$を通り$x$軸に平行な直線と関数$y=x²$のグラフとの交点のうち、$x$座標が正である点を$D$とします。線分$AB$と線分$CD$の長さの比を求めなさい。

点$B$の座標を求める。
点$B$の$x$座標は、点$A$の$x$座標を$y$軸に対して対象移動させたものなので、$x=-2$となる。
点$B$の$y$座標は、$y=x²$に代入して$y=4$となる。

次に点$C$を求める。
点$C$の$y$座標は$y=\displaystyle \frac{x²}{4}$に$x=5$を代入して、$y=\displaystyle \frac{25}{4}$
また、点$D$の$y$座標は点$C$の$y$座標に等しいので、
$y=\displaystyle \frac{25}{4}$点$D$の$x$座標は$y=x²$に$y=\displaystyle \frac{25}{4}$を代入して
$\displaystyle \frac{25}{4}=x²$
$x>0$より
$\displaystyle \frac{5}{2}=x$
$x=\displaystyle \frac{5}{2}$

これより$AB$の長さは$2+2=4$、$CD$の長さは$5-\displaystyle \frac{5}{2}=\displaystyle \frac{5}{2}$
よって
$AB:CD$は
$4:\displaystyle \frac{5}{2}$
$8:5$