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体積の工夫した求め方

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題10
立体の表面積と体積55
図の立体O-ABCDは、正方形ABCDを底面とする正四角すいである。Eは辺OC上の中点、Fは辺OC上の点で、OF:FC=1:2である。正四角すいO-ABCDのすべての辺の長さを6cmとする。
(1)線分BFの長さはいくつになるか。
(2)B,D,E,Fを頂点とする三角すいの体積を求めよ。

方針

(1)の問題の考え方

BFが入っている△OBCを取り出して考える。

(2)の問題の考え方

どこを底面、高さにしたら(1)を利用できるか考える。

(1)BFが入っている△OBCを取り出して考える。

立体の表面積と体積56
正三角形なので、BC=6、点Eは辺OCの中点なので、EC=3。
また∠CBEは正三角形の半分なので、30°
これより△BECは30、60、90°の特別な三角形となる。

よって
$BE:EC=\sqrt{3}:1$
$BE:3=\sqrt{3}:1$
$BE=3\sqrt{3}$

またOFの長さは2より、FEの長さは3-2=1となる。
△FEBは∠FEB=90°の直角三角形なので、3平方の定理よりFBの長さは
$FB²=FE²+EB²$
$FB²=1²+(3\sqrt{3})²$
$FB=2\sqrt{7}$

(2)どこを底面、高さにしたら(1)を利用できるか考える。

この場合は底面を△EDB、高さをFEとする。
底面積を求める。
立体の表面積と体積57
DBの長さは正方形の対角線より
$DB=6\sqrt{2}$
点Eから垂線を降ろし交点をGとすると、
立体の表面積と体積58
△EDGと△EBGは合同となる。
(DE=BE、∠EGD=∠EGB=90、EGは共通)

なのでDGはDBの半分となり、
$DG=3\sqrt{2}$
△EDGについて、3平方の定理よりEGの長さは
$EG²=ED²-DG²$
$EG²=(3\sqrt{3})²-(3\sqrt{2})²$
$EG=3$

これより底面積は
$DB×EG÷2$
$=6\sqrt{2}×3÷2$
$=9\sqrt{2}$

よって求める体積は
$9\sqrt{2}×1÷3$
$=3\sqrt{2}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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