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体積を2通りで出す問題

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2019年3月16日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題18直方体$ABCD-EFGH$で、線分$DM$の長さを$2cm$とするとき、
(1)△$FAM$の面積を求めなさい。
(2)点$B$と面$FAM$の距離を求めなさい。

方針

(1)と(2)の関係を考える。
面積を求める。

(1)
三角形のそれぞれの辺の長さを求めると、
三平方の定理より、
$AM²=AD²+DM²$
$AM²=4²+2²$
$AM=2\sqrt{5}$

また三平方の定理より、
$AF²=AE²+EF²$
$AF=5\sqrt{2}$

さらに三平方の定理より、
$MF²=MC²+CG²+GF²$
$MF=5\sqrt{2}$

底辺を$AM$とみたときの高さ$h$は
$h²=AF²-(\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{2})²$
$h=3\sqrt{5}$

求める面積は
$2\sqrt{5}×3\sqrt{5}÷2$
$=15$

体積を2通りで求める。

(2)
点$B$と面$FAM$の距離とは、
三角錐$B-FAM$の底面を$FAM$とした場合の高さ($h$)となる。
直接求めることができないので、体積を2通りで表す。

1つ目、
△$AFM×h×\displaystyle \frac{1}{3}$
$=5h$

2つ目、
底面を△$ABF$とおくと三角錐$B-FAM$の体積は
$5×5÷2×4×\displaystyle \frac{1}{3}$
$=\displaystyle \frac{50}{3}$

1つ目と2つ目は同じ体積なので、
$5h=\displaystyle \frac{50}{3}$
$h=\displaystyle \frac{10}{3}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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