体積を２通りで出す問題

問題１８直方体$ABCD-EFGH$で、線分$DM$の長さを$2cm$とするとき、
（１）△$FAM$の面積を求めなさい。
（２）点$B$と面$FAM$の距離を求めなさい。

方針

（１）
三角形のそれぞれの辺の長さを求めると、
三平方の定理より、
$AM²=AD²+DM²$
$AM²=4²+2²$
$AM=2\sqrt{5}$

また三平方の定理より、
$AF²=AE²+EF²$
$AF=5\sqrt{2}$

さらに三平方の定理より、
$MF²=MC²+CG²+GF²$
$MF=5\sqrt{2}$

底辺を$AM$とみたときの高さ$h$は
$h²=AF²-(\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{2})²$
$h=3\sqrt{5}$

求める面積は
$2\sqrt{5}×3\sqrt{5}÷2$
$=15$

（２）
点$B$と面$FAM$の距離とは、
三角錐$B-FAM$の底面を$FAM$とした場合の高さ（$h$）となる。
直接求めることができないので、体積を２通りで表す。

１つ目、
△$AFM×h×\displaystyle \frac{1}{3}$
$=5h$

２つ目、
底面を△$ABF$とおくと三角錐$B-FAM$の体積は
$5×5÷2×4×\displaystyle \frac{1}{3}$
$=\displaystyle \frac{50}{3}$

１つ目と２つ目は同じ体積なので、
$5h=\displaystyle \frac{50}{3}$
$h=\displaystyle \frac{10}{3}$