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円錐の最短距離

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題13
立体の表面積と体積70
図に示した立体は、頂点がO、底面が長さ15cmの線分ABを直径とする円、母線の長さが30cmの円すいである。
2点C,Dは母線OB上にあり、OC=CD=DBである。点Pは母線OA上を動く点である。図のように点Cから点Pを経由して点Dまでひもをかける。
ひもの長さが最も短くなるように点Pをとるときのひもの長さは何cmですか。

方針

(1)の問題の考え方

ひもの問題は展開図を書いて、ひもが直線になればよい。

(1)展開図をかく。

以下のような図を書く。(必要なとこだけ)
立体の表面積と体積71
すると、線分CDを求めればよいことがわかる。
ここでおうぎ形の角度に注目する。
(角度がわかれば三平方の定理が使えるから)

おうぎ形の弧の長さは中心角をaとすると、
$30×2×π×\displaystyle \frac{a}{360}$・・・➀
また、弧の長さは円周と同じなので
$15×π$・・・➁
➀=➁より
a=90°

△OCDに三平方の定理を用いて、
$CD²=OC²+OD²$
$CD²=10²+20²$
$CD=10\sqrt{5}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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