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弧の特徴を利用した相似の証明問題

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2018年3月9日図形と証明中学3年生, 難易度★

問題2図の円において、弧AB=弧BC=弧CDで、線分BEと線分ADの交点をFとするとき、△ACE∽△FDEを証明しなさい。
図形と証明4

方針

辺と角の情報でどちらが多いか考える。この場合は角の方が多いから角に関する相似の条件を考える。
図の中に情報を書き込む

図形と証明5
円周角の定理より、∠ACE=∠ADE
弧AB=弧BC=弧CDなので、∠AEB=∠BEC=∠CED

証明
△ACEと△FDEにおいて、
円周角の定理より、∠ACE=∠ADE・・・➀

∠AEC
=∠AEB+∠BEC
(弧AB=弧BC=弧CDなので、∠AEB=∠BEC=∠CED)
=∠BEC+∠CED
=∠FED・・・➁

➀、➁より2角がそれぞれ等しいので、
△ACE∽△FDE


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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