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タイルの枚数と計算の工夫の問題

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2019年3月16日裁量問題中学3年生, 難易度★★

問題19図のように、同じ大きさの正三角形の白いタイルと黒いタイルをすきまなくしきつめて、1番目、2番目、3番目、4番目、・・・$n$番目まで正三角形を作る。

$n$番目の正三角形をつくるのに必要な黒いタイルの枚数を$a$とすると、$a$を$n$を使った式で表しなさい。

方針

規則性のポイントは黒と白を分けて考える。全体と黒または白の関係を考えてみる。
黒の枚数は全体の枚数-白の枚数

$1$番目の白の枚数は$1=(1)$枚
$2$番目の白の枚数は$3=(1+2)$枚
$3$番目の白の枚数は$6=(1+2+3)$枚
$4$番目の白の枚数は$10=(1+2+3+4)$枚
・・・
n番目の白の枚数は$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=(1+2+・・・+n-1+n)$

※4番目の白の枚数は
$(1+2+3+4=(1+4)+(2+3)=5×2=10)$
足して$5$となるペアが$2$個あるので$10$。
これを$n$番目で試してみると
最初と最後を足すと$(1+n)$でそのペアは全体の半分になるから、$\displaystyle \frac{n}{2}$個
これをかけて$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$

全体の枚数は
$1$番目の枚数は$1=(1²)$枚
$2$番目の枚数は$4=(2²)$枚
$3$番目の枚数は$9=(3²)$枚
$4$番目の枚数は$16=(4²)$枚
・・・
$n$番目の枚数は枚$n²$

これより黒のタイルの枚数は全体から白のタイルの枚数を引けばよいので、
$a=n²-\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
$a=\displaystyle \frac{n²-n}{2}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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