一次関数の練習問題２

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家からA町までは赤点までとなる。原点を通るので、比例の式だとわかる。
$y=ax$の式に$x=40,y=4000$を代入して、
$4000=40a$
$a=100$
$y=100x$となる。

$A$町から$B$町までは、$(40,4000)$と$(60,10000)$の２点を通るので、一次関数だとわかる。
よって$y=ax+b$にそれぞれ代入して、
$\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{l}40a+b=4000・・・➀\\60a+b=10000・・・➁\end{array}\right.
\end{eqnarray}$
➀$-$➁より
$40a-60a=4000-10000$
$-20a=-6000$
$a=300$・・・➂

➂を➀に代入して、
$12000+b=4000$
$b=-8000$
よって$y=300x-8000$となる。

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動点の問題はそれぞれの変域の図をかくとわかりやすい。
毎秒$1cm$なので、$x$秒後は$xcm$となる。
（１）$0≦x≦3$のとき点$P$は図のような位置にある。

よって△$APD$の面積は
$y=x×8÷2$
$y=4x$

（２）$3≦x≦11$のとき点$P$は図のような位置にある。

よって△$APD$の面積は底辺と高さが一定なので、
$y=3×8÷2$
$y=12$

（３）$11≦x≦14$のとき点$P$は図のような位置にある。

よって△$APD$の面積は
$y=(14-x)×8÷2$
$y=-4x+56$
（４）
$0≦x≦3$のとき、$y=4x$
$3≦x≦11$のとき、$y=12$
$11≦x≦14$のとき、$y=-4x+56$
なので図のようなグラフができる。

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すべての点の座標を求める。
点$A$は交点なので、
$2x-2=-2x+6$
$4x=8$
$x=2$
これより$y=2$
$A(2,2)$

点$B,C$は$y$軸との交点なので、$x$座標はともに$0$となる。
$B(0,-2)$、$C(0,6)$

これより△$ABC$の面積は
$8×2÷2=$$8$
※底辺は$BC$の長さより$6+2=8$、高さは点$A$の$x$座標なので$2$

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２直線が点$(2,3)$で交わっているので、
$2a+3b=8$、$2b+3a=7$
$\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{l}2a+3b=8・・・➀\\2b+3a=7・・・➁\end{array}\right.
\end{eqnarray}$
➀×３$-$➁×２より
$9b-4b=24-14$
$b=2$
$b=2$・・・➂
➂を➀に代入して、
$2a+6=8$
$a=1$

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２直線の交点を求め、$ax+y=2$の式に代入する。
$2x-y=5$
$y=2x-5$を$x+2y=10$に代入して、
$x+4x-10=10$
$5x=20$
$x=4$
よって$y=3$

$ax+y=2$に代入して、
$4a+3=2$
$a=-\displaystyle \frac{1}{4}$