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相似と相似の条件を知ろう

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2018年3月20日図形と相似中学3年生

相似とは?

2つの図形があります。
片方の図形を縮小・拡大するともう一方の図にぴったりあうときに2つの図形は相似といいます。
※長さは異なるが角度は同じです。
図形と証明47図形と証明48図形と証明49
三角形に限らずに色んな図形も相似っていうことができます。
中学生で扱うのは三角形・四角形をメインにやるので、相似のイメージは三角形・四角形にしてよいです。
図形と相似5

意味を理解したら問題を解いてみましょう。
△$ABC$を$2$倍に拡大したら△$DEF$になりました。
$DE$、$EF$の長さ及び、∠$DEF$は何度になりますか?
図形と証明50

相似な図形の性質

以下の性質があります。
1、相似な図形では、対応する線分の長さの比はすべて等しい。
2、相似な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しい。
図形と証明51
※1図の四角形が相似なことを四角形$ABCD$∽四角形$EFGH$とします。
対応する頂点の順に書きます。
四角形$ABCD$∽四角形$FGHE$と書いてはダメ!!!
※2三角形同士が相似な場合は△$ABC$∽△$DEF$のように△をつかって表します。

では問題です。図の三角形は相似です。相似の記号を使って表しましょう。
図形と証明52

相似比

相似な2つの図形で、対応する線分の長さの比を相似比と言います。
例えば以下の図では相似比は$4:6=$$2:3$になります。
図形と証明53
※対応する線分は$AB$と$DF$なので注意してください。
図形と相似6

では問題です。四角形$ABCD$と四角形$EFGH$は相似です。
図形と証明54
(1)四角形$ABCD$と四角形$EFGH$の相似比は?
(2)$BC$、$HG$の長さは?
(3)∠$ADC$は何度か?

相似の条件とは?

3つあります。
1、3つの辺の比がそれぞれ等しい
2、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
3、2組の角がそれぞれ等しい
図形と証明55図形と証明56図形と証明57
1、$AB:DE=AC:DF=BC:EF=1:2$なので3つの辺の比がそれぞれ等しい
2、$AB:DE=AC:DF=1:2$、∠$BAC=$∠$EDF=30$°なので2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
3、∠$BAC=$∠$EDF=30$°、∠$ABC=$∠$DEF=75$°なので2組の角がそれぞれ等しい
図形と相似7

では問題を解いてみましょう。
図で相似な三角形をみつけ、そのときの相似の条件を書きなさい。
図形と証明58

では証明問題を解いてみましょう。
図で∠$ABC=$∠$DEC$である。
この場合相似な三角形をみつけ相似を証明しましょう。
図形と証明59

図形と相似2
不明点があればコメントよりどうぞ。

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