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平行線と線分の比と中点連結定理

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2018年3月21日図形と相似中学3年生

平行線と線分の比

$PQ$//$BC$ならば、△$APQ$∽△$ABC$となるので、$AP:AB=AQ:AC=PQ:BC$となる。
図形と証明62
注:これは覚える必要はありません。
簡単に証明できるからです。図に書きこむとわかりますよ。
図形と証明63
△$APQ$と△$ABC$において、
$PQ$//$BC$なので同位角が等しくなる。
よって∠$APQ=$∠$ABC$・・・➀
また、∠$AQP=$∠$ACB$・・・➁
➀、➁より2角がそれぞれ等しいので、△$APQ$∽△$ABC$
対応する線分の比はそれぞれ等しいので、
$AP:AB=AQ:AC=PQ:BC$
図形と相似8

意味を理解したら問題を解いてみましょう。
図で$PQ$//$BC$のとき$x,y$の値をそれぞれ求めなさい。
図形と証明64

平行線に囲まれた線分の比

2つの直線が3つの平行な直線を図のように交わっているとき、$AB:AC=DE:DF$
図形と証明65
この場合に覚えることは直線を平行に動かすこと
図のように動かして$AB:AC=DE:DF$を確認しましょう。
図形と証明66
すると△$ABE$∽△$ACF$なので、$AB:AC=DE:DF$となる。
図形と相似9

では問題です。図で$p,q,r$が平行のとき$x$の値を求めよ。
図形と証明68

中点連結定理

△$ABC$の2辺$AB$、$AC$の中点を、それぞれ$M,N$とすると、
$MN$//$BC,BC=2MN$
図形と証明69
簡単に証明してみましょう。
△$AMN$と△$ABC$において
$AM:AB=1:2$・・・①
$AN:AC=1:2$・・・②
∠$A$は共通・・・③
➀、②、③より
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、 △$AMN$∽△$ABC$
よって∠$AMN=$∠$ABC$なので
$MN$//$BC$(同位角は等しい)
$AM:AB=MN:BC$
$1:2=MN:BC$
$BC=2MN$
図形と相似10

では問題です。△$ABC$で、点$D,E,F$はそれぞれ辺$AB,BC,CA$の中点です。△$DEF$の周りの長さを求めましょう。但し、$AB=6cm、BC=8cm、CA=10cm$とします。
図形と証明70

角の2等分線と線分の比

△$ABC$の∠$A$の$2$等分線と辺$BC$との交点を$D$とすると、$AB:AC=BD:DC$となる。
図形と証明76
この証明は少し難しいです。補助線の引き方を覚えてしまってかまいません。たまに受験問題で証明の問題が出ます。
図形と証明77
図のように点$C$を通り、$AB$に平行な直線と、直線$AD$の交点を$E$とします。
このとき、∠$BAE=$∠$CEA$(錯角)より、∠$CEA=$∠$CAE(=$∠$BAE)$となり、△$ACE$は、$AC=CE$の二等辺三角形となります。
一方、△$ABD$と△$ECD$が相似であることより$AB:CE=BD:DC$よって$AB:AC=BD:DC$
図形と相似11

意味を理解したら問題を解いてみましょう。
図で、$AD$は∠$A$の二等分線である。次の問いに答えなさい。
(1)$BD:DC$を求めなさい。(2)$x$の値を求めなさい。
図形と証明78

図形と相似3
不明点があればコメントよりどうぞ。

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