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平行を利用した相似の証明問題と辺の比の問題

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2018年3月9日図形と証明中学3年生, 難易度★★

問題11図のように、平行四辺形ABCDがある。辺ABの中点をEとし、点Eを通り線分BDに平行な直線と辺ADとの交点をFとする。また、線分CFと線分ED、BDとの交点をそれぞれG,Hとする。
(1)△AEF∽△ABDを証明しなさい。
(2)CH:HGを最も簡単な整数比で表しなさい。
図形と証明43

方針

平行の特徴を考えると同位角・錯角が見えてくる。
(1)平行の特徴を考える

図形と証明44
(1)△AEFと△ABDにおいて、
EF//BDより、同位角が等しいので、
∠AEF=∠ABD・・・➀
∠AFE=∠ADB・・・➁
➀、➁より2角がそれぞれ等しいので、
△AEF∽△ABD

(2)平行四辺形なので角を頼りに相似な三角形を探す

図形と証明45
$AF:FD=1:1$より、
$FD:BC=1:2$

△FHD∽△CHBより
$FH:CH=FD:CB=HD:HB=1:2$

また(1)より△AEF∽△ABDなので、
$EF:BD=1:2$
$EF:3=1:2$
$EF=\displaystyle \frac{3}{2}$

△EGF∽△DGHより
$FG:HG=EF:DH$
$FG:HG=\displaystyle \frac{3}{2}:1$
$FG:HG=3:2$

これより
$HF:HG=5:2$
$HF=\displaystyle \frac{5}{2}HG$

ゆえに
$CH:HF=2:1$
$CH:\displaystyle \frac{5}{2}HG=2:1$
$CH:HG=5:1$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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