平行を利用した相似の証明問題と辺の比の問題

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2018年1月6日2018年3月9日図形と証明中学３年生, 難易度★★

問題１１図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。辺ＡＢの中点をＥとし、点Ｅを通り線分ＢＤに平行な直線と辺ＡＤとの交点をＦとする。また、線分ＣＦと線分ＥＤ、ＢＤとの交点をそれぞれＧ，Ｈとする。
（１）△ＡＥＦ∽△ＡＢＤを証明しなさい。
（２）ＣＨ：ＨＧを最も簡単な整数比で表しなさい。

方針

平行の特徴を考えると同位角・錯角が見えてくる。

（１）平行の特徴を考える

（１）△ＡＥＦと△ＡＢＤにおいて、
ＥＦ//ＢＤより、同位角が等しいので、
∠ＡＥＦ＝∠ＡＢＤ・・・➀
∠ＡＦＥ＝∠ＡＤＢ・・・➁
➀、➁より２角がそれぞれ等しいので、
△ＡＥＦ∽△ＡＢＤ

（２）平行四辺形なので角を頼りに相似な三角形を探す

$AF:FD=1:1$より、
$FD:BC=1:2$

△ＦＨＤ∽△ＣＨＢより
$FH:CH=FD:CB=HD:HB=1:2$

また（１）より△ＡＥＦ∽△ＡＢＤなので、
$EF:BD=1:2$
$EF:3=1:2$
$EF=\displaystyle \frac{3}{2}$

△ＥＧＦ∽△ＤＧＨより
$FG:HG=EF:DH$
$FG:HG=\displaystyle \frac{3}{2}:1$
$FG:HG=3:2$

これより
$HF:HG=5:2$
$HF=\displaystyle \frac{5}{2}HG$

ゆえに
$CH:HF=2:1$
$CH:\displaystyle \frac{5}{2}HG=2:1$
$CH:HG=5:1$