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正三角形と円周角の定理を用いた合同・相似の証明問題

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2018年3月9日図形と証明中学3年生, 難易度★★★

問題8図のように、円Oの円周上にある3点A、B、Cを頂点をする正三角形ABCがある。
点Cを含まない弧AB上に、2点A、Bとは異なる点Dをとり、点Dと3点A、B、Cをそれぞれ結ぶ。
線分CD上に、BD=CEとなる点Eをとり、点Aと点Eを結ぶ。
図形と証明27
(1)△ABD≡△ACEを証明せよ。
(2)△ADEが正三角形であることを証明せよ。
(3)AD=2cm、BC=3cmのとき、線分CEの長さを求めなさい。

方針

辺と角の情報でどちらが多いか考える。この場合は正三角形と円があるから角の方が若干情報が多いから角に関する相似・合同の条件を考える。線分の長さは証明を使うことが多い。
(1)角と線に注目して考える

図形と証明28
△ABDと△ACEにおいて、
仮定よりBD=CE・・・➀
円周角の定理より∠ABD=∠ACE・・・➁
正三角形ABCよりAB=AC・・・➂
➀、➁、➂より
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△ACE

(2)△ADEが正三角形を示すのは角度が60°を示せればよい

図形と証明29
(1)よりAD=AEなので△ADEは二等辺三角形になる。
∠ABC=60°で円周角の定理より、∠ABC=∠ADC=60°
△ADEは二等辺三角形なので、∠AED=60°
よって∠DAE=60°
これより△ADEは正三角形となる。

(3)(1)、(2)を利用して解く

図形と証明30
$EC$の長さを$x$とすると、(1)$DB$の長さも$x$となる。
図のように点$F$をおき、$FD=a$すると、
△DBF∽△EAF(2角が等しい)
$DB:EA=FD:FE$
$x:2=a:2-a$
$2a=x(2-a)$
$2a+ax=2x$
$a=\displaystyle \frac{2x}{2+x}$

これよりFEの長さは
$FE=2-FD$
$FE=2-\displaystyle \frac{2x}{2+x}$
$FE=\displaystyle \frac{4}{2+x}$

同様に$BF=b$とすると、
$DB:EA=BF:AF$
$x:2=b:3-b$
$2b=x(3-b)$
$2b+bx=3x$
$b=\displaystyle \frac{3x}{2+x}$
図形と証明32
△DBF∽△ACF(2角が等しい)
$DB:BF=AC:CF$
$x:\displaystyle \frac{3x}{2+x}=3:x+\displaystyle \frac{4}{2+x}$
$x:\displaystyle \frac{3x}{2+x}=3:\displaystyle \frac{2x+x²+4}{2+x}$
$9=2x+x²+4$
$x=-1+\sqrt{6}$(解の公式)


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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