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三角形の面積と直線の式の求め方

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2018年3月9日関数中学2年生, 中学3年生, 難易度★★

問題21

関数_64
図で$O$は原点、$A$は$y$軸上の点、$B,C$は直線$y=\displaystyle \frac{x}{2}+4$上の点で、△$AOC$の面積は△$ABO$の面積の$2$倍、△$ABC$の面積は△$BOC$の面積の$3$倍である。点$B$の$x$座標が$-4$のとき、原点$O$を通り、四角形$ABOC$の面積を$2$等分する直線の式を求めよ。

方針

原点を通り面積を$2$等分する直線の式は求めることができる。
よってこれをうまく使うことを考える。
関数_63
△$AOC$の面積は△$AOB$の面積の$2$倍なので、△$AOC$の面積を$2$等分する点$D$を求める。すると△$AOB$と△$AOD$と△$DOC$の面積は同じになる。更に△$AOD$の面積を$2$等分する点$E$を求めれば、直線$OE$が四角形$ABOC$の面積を$2$等分する直線となる。

➀面積との関係から各点の座標を求める。
②点$D$の座標を求める。
③点$E$の座標を求めて直線の式を出す。

➀面積との関係から各点の座標を求める。

関数_64
点$B$の$x$座標は$-4$より直線$y=\displaystyle \frac{x}{2}+4$に代入して、
$y=\displaystyle \frac{-4}{2}+4$
$y=-2+4$
$y=2$
よって点$B$の座標は$(-4,2)$

関数_64
△$AOC$の面積は△$AOB$の$2$倍より底辺を$AO$、高さが$2$倍になればよい。よって高さは$4×2$の$8$($x$座標)となる。これを直線$y=\displaystyle \frac{x}{2}+4$に代入して、
$y=\displaystyle \frac{8}{2}+4$
$y=4+4$
$y=8$
よって点$C$の座標は$(8,8)$

関数_64
直線$BC$と$y$軸の交点を$F$とする。△$ABC$の面積は△$BOC$の$3$倍より底辺を$BC$、高さが$3$倍になればよい。よって
$OF:FA=1:3$
$4:FA=1:3$
$FA=12$
よって点$A$の座標は$(0,16)$

②点$D$の座標を求める。

関数_65
点$D$の座標は$(\displaystyle \frac{0+8}{2},\displaystyle \frac{16+8}{2})$よって点$D$の座標は$(4,12)$

③点$E$の座標を求めて直線の式を出す。

関数_66
点$E$の座標は$(\displaystyle \frac{0+4}{2},\displaystyle \frac{16+12}{2})$よって点$D$の座標は$(2,14)$これより直線の式は$y=ax$に代入して
$14=2a$
$a=7$
よって
$y=7x$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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