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立体の線分の最短と最長

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題9
立体の表面積と体積51
図のように、$BC=2cm、AC=3cm、$∠$ACB=60$°の三角形$ABC$と、$DC=\sqrt{3}cm$,∠$BDC=90$°の直角三角形$BDC$がある。点$P$が$BC$上を動くとする。
(1)AP+PDが最長になる場合の長さを求めなさい。
(2)AP+PDが最短になる場合の長さを求めなさい。
(3)点Pが辺BCの中点であるとき、AP+PDの長さを求めなさい。
(4)AP+PD=4cmのとき、APの長さを求めなさい。

方針

(1)の問題の考え方

AP+PDが最長とは図より点Cの位置にPがきたときである。

(2)の問題の考え方

AP+PDが最短とは図より直線AD上にPがあるときである。

(3)の問題の考え方

点Pが辺BCの中点であるとき、BP=CP=1cmなので長さに注目する。

(4)の問題の考え方

わからないものを文字で置く。

(1)AP+PDが最長とは図より点Cの位置にPがきたときである。

よってAC+CDの長さを求めると$3+\sqrt{3}$

(2)AP+PDが最短とは図より直線AD上にPがあるときである。

立体の表面積と体積52
△BDCは30°、60°、90°の直角三角形より、∠BCD=30°となる。よって△ADCは∠ACDが90度の直角三角形となる。よってADの長さは3平方の定理より
$AD²=AC²+CD²$
$AD²=3²+\sqrt{3}²$
$AD=2\sqrt{3}$

(3)各辺の長さに注目する。

立体の表面積と体積53
すると△BDPはBD=BPの2等辺三角形で角度が(2)より60度なので、△BDPは正三角形だとわかる。よってDP=1cm。
また、Aから垂線を降ろし、BCとの交点をQとする。
立体の表面積と体積54
すると△AQCは30°、60°、90°の直角三角形よりQCは
$AC:QC=2:1$
$3:QC=2:1$
$QC=\displaystyle \frac{3}{2}$

よって
$QP=\displaystyle \frac{3}{2}-1$
$QP=\displaystyle \frac{1}{2}$

またAQは
$AQ:QC=1:\sqrt{3}$
$AQ:\displaystyle \frac{3}{2}=1:\sqrt{3}$
$AQ=\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$

これよりAPの長さは3平方の定理より
$AP²=AQ²+QP²$
$AP²=(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2})²+(\displaystyle \frac{1}{2})²$
$AP=\sqrt{7}$

これより求める長さは
$1+\sqrt{7}$

(4)わからないものを文字で置く。

AP=aとすると、DP=4-aとなる。
△AQPに3平方の定理を用いてQPの長さは
$QP²=AP²-AQ²$
$QP²=a²-(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2})²$
$QP²=a²-\displaystyle \frac{27}{4}$・・・①

また、(3)より
$QC=\displaystyle \frac{3}{2}$
よってBQの長さは
$BQ=2-\displaystyle \frac{3}{2}$
$BQ=\displaystyle \frac{1}{2}$

またBD=1なので、△BDQは30、60、90°の直角三角形となる。
△BDQに3平方の定理を用いてQPの長さは
$QP²=DP²-DQ²$
$QP²=(4-a)²-(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2})²$
$QP²=a²-8a+16-\displaystyle \frac{3}{4}$・・・②

➀=➁より
$a²-\displaystyle \frac{27}{4}=a²-8a+16-\displaystyle \frac{3}{4}$
$-6=-8a+16$
$a=\displaystyle \frac{11}{4}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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