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高さをうまく利用した体積の求め方

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★★

問題12
立体の表面積と体積63
図1に示した立体A-BCDはAB=8cm、BC=BD=6cm、∠ABC=∠ABD=90°、∠CBD=60°の三角すいである。辺ADの中点をMとする。辺BC上にある点をPとし、点Mと点Pを結ぶ。
(1)点Pが辺BCの中点となるとき、線分MPの長さを求めよ。
(2)図2は図1において、辺AC上にあるを点Qとし、頂点Bと点M、頂点Bと点Q、点Mと点Q、点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。
立体の表面積と体積64
BP=5cm、AQ=2cmのとき、立体M-QBPの体積を求めなさい。

方針

(1)の問題の考え方

直接求めることはできないので、3平方の定理で求める。

(2)の問題の考え方

平面BCDに平行な面をMから引く。
(BCDが正三角形なので、使えるかもしれないから。)

(1)3平方の定理が使えるように垂線を引く

Mから辺BDに垂線を引き交点をHとすると、以下の図になる。
立体の表面積と体積65
すると、△ABD∽△MHDとなる。
(∠ABD=∠MHD、∠Dは共通)
これより
$AB:MH=2:1$
$8:MH=2:1$
$MH=4$

立体の表面積と体積66
ここでP、Hを結ぶと、∠MHP=90°となる。
(△BCDは同一平面上なので)
$BH:BD=BP:BC=1:2$より、
中点連結定理が成り立ち、PHの長さはCDの半分
(BC=CD=6、∠CBD=60°より△CBDは正三角形になる。)
よって$PH=3$

△PMHは特別な三角形より、
(別解:三平方の定理より、MP²=MH²+PH²を解けば求まる。)
MP=5cm

(2)平面BCDに平行な面をMから引く。

図のようになり交点をそれぞれ置く。
立体の表面積と体積67
平面BCDに平行なので、△MNOは正三角形であり、MNの長さは
中点連結定理より、MN=3となる。
(AN=NB、AM=MDなので中点連結定理が使える。)
MからONに垂線を引き、交点をRとする。
MRの長さは特別な三角形より、
$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$

また、底面積は図のように考える。
立体の表面積と体積68
図より、△AQBと△CQBは高さが共通なので面積比は底辺の比に等しい。
よって△BQCの面積は
$\displaystyle \frac{4}{5}×24$
(△ABCの面積は6×8÷2=24)
また図より、
立体の表面積と体積69
△BQPと△CQPは高さが共通なので面積比は底辺の比に等しい。
よって△BQPの面積は
$\displaystyle \frac{5}{6}×\displaystyle \frac{4}{5}×24$
$=16$

これより求める体積は
$16×\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}÷3$
$8\sqrt{3}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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