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カードと確率の問題

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2019年3月16日裁量問題中学2年生, 中学3年生, 難易度★★

問題11$A$を書いたカードが$3$枚、$B$を書いたカードが$2$枚、$C$を書いたカード$1$枚ある。
よくきって$1$枚カードを取り出して、次にそのカードを戻し、再び良く切って、$1$枚カードを取り出す。
ア~カの中で最も起こりやすいのはどれですか。
ア:$A$が$2$回出る
イ:$A$と$B$が$1$回ずつ出る
ウ:$A$と$C$が$1$回ずつ出る
エ:$B$が$2$回出る
オ:$B$と$C$が$1$回ずつ出る
カ:$C$が$2$回出る

方針

頭で考えずに実際に書きだしてみる。
確率は区別して考えてから、重複を考える。

ア:$A$が$2$回出る確率
$1$回目に$A$がでて、$2$回目も$A$が出る。
$\displaystyle \frac{3}{6}×\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{4}$

イ:$A$と$B$が$1$回ずつ出る
(1)$1$回目に$A$がでて、$2$回目に$B$が出る。
(2)$1$回目に$B$がでて、$2$回目に$A$が出る。
の$2$通りがある。
(1)の確率は$\displaystyle \frac{3}{6}×\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{1}{6}$
(2)の確率は$\displaystyle \frac{2}{6}×\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{6}$
(1)と(2)は別々なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}$
$=\displaystyle \frac{1}{3}$

ウ:$A$と$C$が$1$回ずつ出る
(1)$1$回目に$A$がでて、$2$回目に$C$が出る。
(2)$1$回目に$C$がでて、$2$回目に$A$が出る。
の$2$通りがある。
(1)の確率は$\displaystyle \frac{3}{6}×\displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{12}$
(2)の確率は$\displaystyle \frac{1}{6}×\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{12}$
(1)と(2)は別々なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{12}+\displaystyle \frac{1}{12}$
$=\displaystyle \frac{1}{6}$

エ:$B$が$2$回出る
$1$回目に$B$がでて、$2$回目も$B$が出る。
$\displaystyle \frac{2}{6}×\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{1}{9}$

オ:$B$と$C$が$1$回ずつ出る
(1)$1$回目に$B$がでて、$2$回目に$C$が出る。
(2)$1$回目に$C$がでて、$2$回目に$B$が出る。
の$2$通りがある。
(1)の確率は$\displaystyle \frac{2}{6}×\displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{18}$
(2)の確率は$\displaystyle \frac{1}{6}×\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{1}{18}$
(1)と(2)は別々なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{18}+\displaystyle \frac{1}{18}$
$=\displaystyle \frac{1}{9}$

カ:$C$が$2$回出る
$1$回目に$C$がでて、$2$回目も$C$が出る。
$\displaystyle \frac{1}{6}×\displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{36}$

これよりが最も起こりやすい。


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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