カードと確率の問題

問題１１$A$を書いたカードが$3$枚、$B$を書いたカードが$2$枚、$C$を書いたカード$1$枚ある。
よくきって$1$枚カードを取り出して、次にそのカードを戻し、再び良く切って、$1$枚カードを取り出す。
ア～カの中で最も起こりやすいのはどれですか。
ア：$A$が$2$回出る
イ：$A$と$B$が$1$回ずつ出る
ウ：$A$と$C$が$1$回ずつ出る
エ：$B$が$2$回出る
オ：$B$と$C$が$1$回ずつ出る
カ：$C$が$2$回出る

方針

ア：$A$が$2$回出る確率
$1$回目に$A$がでて、$2$回目も$A$が出る。
$\displaystyle \frac{3}{6}×\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{4}$

イ：$A$と$B$が$1$回ずつ出る
（１）$1$回目に$A$がでて、$2$回目に$B$が出る。
（２）$1$回目に$B$がでて、$2$回目に$A$が出る。
の$2$通りがある。
（１）の確率は$\displaystyle \frac{3}{6}×\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{1}{6}$
（２）の確率は$\displaystyle \frac{2}{6}×\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{6}$
（１）と（２）は別々なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}$
$=\displaystyle \frac{1}{3}$

ウ：$A$と$C$が$1$回ずつ出る
（１）$1$回目に$A$がでて、$2$回目に$C$が出る。
（２）$1$回目に$C$がでて、$2$回目に$A$が出る。
の$2$通りがある。
（１）の確率は$\displaystyle \frac{3}{6}×\displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{12}$
（２）の確率は$\displaystyle \frac{1}{6}×\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{12}$
（１）と（２）は別々なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{12}+\displaystyle \frac{1}{12}$
$=\displaystyle \frac{1}{6}$

エ：$B$が$2$回出る
$1$回目に$B$がでて、$2$回目も$B$が出る。
$\displaystyle \frac{2}{6}×\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{1}{9}$

オ：$B$と$C$が$1$回ずつ出る
（１）$1$回目に$B$がでて、$2$回目に$C$が出る。
（２）$1$回目に$C$がでて、$2$回目に$B$が出る。
の$2$通りがある。
（１）の確率は$\displaystyle \frac{2}{6}×\displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{18}$
（２）の確率は$\displaystyle \frac{1}{6}×\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{1}{18}$
（１）と（２）は別々なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{18}+\displaystyle \frac{1}{18}$
$=\displaystyle \frac{1}{9}$

カ：$C$が$2$回出る
$1$回目に$C$がでて、$2$回目も$C$が出る。
$\displaystyle \frac{1}{6}×\displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{36}$

これよりイが最も起こりやすい。