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底面積の利用

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題15図のような、底面が1辺2cmの正五角形で高さが5cmである正五角柱ABCDE-FGHIJがあり、辺AF上にAP=3cmとなる点Pがある。
(1)正五角柱ABCDE-FGHIJの側面上に点Pと点Hを最短の長さで結ぶ線を引くとき、その線の長さを求めなさい。
(2)正五角柱ABCDE-FGHIJの体積をScm³、五角錐P-FGHIJの体積をTcm³とする。このとき、2つの図形の体積の比S:Tを、最も簡単な整数の比で表しなさい。
立体の表面積と体積77

方針

(1)の問題の考え方

図形の最短の長さは展開図を書く。

(2)の問題の考え方

底面積が共通なことに気付くと・・・。

展開図を書く。

立体の表面積と体積78
求める最短の長さはPHの長さと同じになる。
三角形PFHにおいて3平方の定理より、
$PH²=PF²+FH²$
$PH²=2²+4²$
$PH=2\sqrt{5}$

底面積は共通なので・・・

底面積をacm²とすると、体積はそれぞれ
$S=a×5$
$T=a×2÷3$
となる。よって、
$S:T=15:2$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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