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ひもの長さと体積の関係

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題8
立体の表面積と体積49
図は、AB=6cm、AD=2cm、AE=4cmの直方体である。
この直方体について、AB、BF上の点をそれぞれP,Qとする。
DP+PQ+QCが最小となるときの三角錐BPQCの体積を求めなさい。

方針

問題の考え方

DP+PQ+QCが最小とはD,P,Q,Gが一直線上にあること、展開図を書いて求める。

DP+PQ+QCが最小とは一直線上にあること、展開図を書いて求める。

立体の表面積と体積50
展開図を書くと上図のようになる。
それぞれの長さを相似によって求める。
△DAP∽△DEGより
(∠D共通、∠DAP=∠DEGで2角が等しい)
$DA:AP=DE:EG$
$2:AP=6:8$
$AP=\displaystyle \frac{8}{3}$
これよりBPの長さは
$BP=AB-AP$
$BP=6-\displaystyle \frac{8}{3}$
$BP=\displaystyle \frac{10}{3}$

QFの長さも相似より、
$QF:DE=FG:EG$
$QF:6=2:8$
$QF=\displaystyle \frac{3}{2}$
これよりQBの長さは
$QB=FB-QF$
$QB=4-\displaystyle \frac{3}{2}$
$QB=\displaystyle \frac{5}{2}$

これより求める体積は
$QB×BP÷2×BC÷3$
$=\displaystyle \frac{5}{2}×\displaystyle \frac{10}{3}÷2×2÷3$
$=\displaystyle \frac{25}{9}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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