２次方程式の練習問題２

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ポイントは「売値$-$原価$=$利益」
定価は「$500×(1+x)$」
売値は「$500×(1+x)×(1-x)$」
となる。よって求める式は

$500×(1+x)×(1-x)-500=-45$
$500(1-x²)-500=-45$
$-500x²=-45$
$100x²=9$
$x=±\sqrt{\displaystyle \frac{9}{100}}$
$x=±\displaystyle \frac{3}{10}$

$x>0$より
$x=\displaystyle \frac{3}{10}$
なので$x=3$割引き

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ポイントは土曜日と日曜日を別々に出す。
土曜日の人数は金曜日よりも$x％$増えたので、「$5000(1+\displaystyle \frac{x}{100})$」
日曜日には土曜日よりも$x％$増えて$6600$人なので、「$5000(1+\displaystyle \frac{x}{100})(1+\displaystyle \frac{2x}{100})=6600$」

$5000(1+\displaystyle \frac{x}{100})(1+\displaystyle \frac{2x}{100})=6600$
$5000(1+\displaystyle \frac{2x}{100}+\displaystyle \frac{x}{100}+\displaystyle \frac{2x²}{10000})=6600$
$5000+100x+50x+x²=6600$
$x²+150x-1600=0$
$(x+160)(x-10)=0$
$x=10,-160$
$x>0$より
$x=10$

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ポイントは「$x²-5x+3=0$」の使い方。
$x²-5x+3=0$の小さい解を求める。
解の方程式より、
$x=\displaystyle \frac{-(-5)±\sqrt{25-4×3}}{2×1}$
$x=\displaystyle \frac{5±\sqrt{13}}{2}$
これより小さい方は
$x=\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{2}$

分子
$=x(x+\sqrt{13})$
$=\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{2}(\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{13})$
$=\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{2}(\displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{2})$
$=\displaystyle \frac{25-13}{4}$
$=3$

分母
$=x²-5x+9$
（$x²-5x+3=0$なので$x²-5x=-3$）
$=-3+9$
$=6$
これより求める解は$\displaystyle \frac{1}{2}$