折り目を利用した相似の証明問題と線分の長さ

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2018年1月1日2018年3月9日図形と証明中学３年生, 難易度★★

問題６図のように、長方形ＡＢＣＤで、対角線ＢＤを折り目として△ＢＣＤを折り返したところ、頂点Ｃが点Ｅに移った。辺ＡＤと線分ＢＥとの交点をＦとする。また、ＡＧは頂点ＡからＢＤに引いた垂線であり、ＢＥとＡＧとの交点をＨとする。
（１）△ＡＢＧ∽△ＢＤＥを証明せよ。
（２）ＡＢ＝３ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍのとき、ＢＧ、ＡＨの長さを求めなさい。

方針

辺と角の情報でどちらが多いか考える。この場合は折り目があるから角の方が多いから角に関する相似・合同の条件を考える。線分の長さは証明を使うことが多い。

（１）折り目に注目して考える

△ＡＢＧと△ＢＤＥにおいて、
長方形の折り目より、∠ＢＣＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°・・・➀
また、垂線より∠ＡＧＢ＝９０°・・・➁
➀、➁より∠ＡＧＢ＝ＢＥＤ・・・➂

長方形の錯角より、∠ＡＢＧ＝∠ＣＤＢ・・・➃
また折り目より、∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＢ・・・⑤
➃、⑤より∠ＡＢＧ＝∠ＢＤＥ・・・➅
➂、➅より２角がそれぞれ等しいので
△ＡＢＧ∽△ＢＤＥ

（２）わかる長さを図に書きこむ

直角三角形ＢＤＥ特別な三角形なのでＢＤ＝５
（１）より△ＡＢＧ∽△ＢＤＥなので、
$AB:BG=BD:DE$
$3:BG=5:3$
$BG=\displaystyle \frac{9}{5}$

ＢＧの長さを使って出すことを考える。数学が基本前の解答を使うから

ＡＧの長さは△ＡＢＧ∽△ＢＤＥなので、
$AG:AB=BE:BD$
$AG:3=4:5$
$AG=\displaystyle \frac{12}{5}$

図より△ＢＧＨ∽△ＢＥＤより
$BG:GH=BE:ED$
$\displaystyle \frac{9}{5}:GH=4:3$
$GH=\displaystyle \frac{27}{20}$

これよりＡＨの長さは
$AH=AG-HG$
$AH=\displaystyle \frac{12}{5}-\displaystyle \frac{27}{20}$
$AH=\displaystyle \frac{21}{20}$