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割り算と規則性の問題

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2019年3月16日裁量問題中学2年生, 中学3年生, 難易度★★★

問題12$1,a,3,b$が繰り返し並んでいる。ただし、$a,b$は定数とする。
$1$番目$:1$
$2$番目$:a$
$3$番目$:3$
$4$番目$:b$
$5$番目$:1$
・・・
(1)$310$番目は$1,a,3,b$のどれですか。
(2)$1$番目から$9$番目までの和が$17,1$番目から$310$番目までの和が$623$のとき$a,b$を求めましょう。

方針

割り算をうまく使って法則を考える。
割り算の余りに注目する。

$5$番目$:1$
$6$番目$:a$
$7$番目$:3$
$8$番目$:b$
なので、次のように考える。

$5$番目の数字は$5÷4=1$余り$1$で$1$
$6$番目の数字は$6÷4=1$余り$2$で$a$
$7$番目の数字は$7÷4=1$余り$3$で$3$
$8$番目の数字は$8÷4=2$余り$0$で$b$
これより余りの数によって$1,a,3,b$のどれかがわかる。
(1)
割り算を使い、
$310÷4=77$余り$2$なので$a$

(2)
$1$番目から$9$番目までの和は$17$なので
$2(1+a+3+b)+1=17$
$a+b=4$・・・➀
$1$番目から$310$番目までの和が$623$なので
$77(1+a+3+b)+1+a=623$
$78a+77b=314$・・・➁

➀,➁より連立方程式を解いて、
$a=6,b=-2$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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