２次方程式
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２次方程式
（$x$の$2$次式）$=0$という形になる方程式を$x$についての２次方程式といいます。
ax²=bの解き方
次の２次方程式を解きましょう。
ポイントは$x$を左側に、その他を右側に移行します。
$x²-16=0$を満たす$x$を求めましょう。
$x²-16=0$
$x²=16$
$x=±4$
※$x=±4$とは$x=+4$と$x=-4$を合わせたものです。
では問題です。次の２次方程式を解きましょう。
$36x²=5$を満たす$x$を求めましょう。
()²=bの解き方
次の２次方程式を解きましょう。
ポイントは$()²=A$などで置くです。
$(x-4)²=8$を満たす$x$を求めましょう。
$x-4=A$とおくと
$A²=8$
$A=±\sqrt{8}$
$(x-4)=±2\sqrt{2}$
$x=4±2\sqrt{2}$
なれてきたら$x-4=A$と置かずに頭の中で計算しましょう。
$(x-4)²=8$
$(x-4)=±\sqrt{8}$
$x=4±2\sqrt{2}$
では問題です。次の２次方程式を解きましょう。
$(x-8)²=5$を満たす$x$を求めましょう。
()²=bを無理やり作るやり方
次の２次方程式を解きましょう。
ポイントは無理やり$()²$を作ることです。
$x²+6x+2=0$を満たす$x$を求めましょう。
$x²+6x=-2$
$x²+6x+9=-2+9$
(真ん中の数$÷2$をして$2$乗する。この場合は$6÷2=3$、$3²=9$を両辺に足す。)
$(x+3)²=7$
$(x+3)=±\sqrt{7}$
$x=-3±\sqrt{7}$
では問題です。次の２次方程式を解きましょう。
$x²+2x-4=0$を満たす$x$を求めましょう。
解の公式を使った解き方
$ax²+bx+c=0$は解の公式を使って、
$x=\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$と表すことができる。
次の２次方程式を解きましょう。
$3x²+5x+1=0$を満たす$x$を求めましょう。
ポイントは解の公式を使うことです。
解の公式より、
$x=\displaystyle \frac{-5±\sqrt{5²-4×3×1}}{2×3}$
$x=\displaystyle \frac{-5±\sqrt{13}}{6}$
では問題です。次の２次方程式を解きましょう。
$x²+5x+5=0$を満たす$x$を求めましょう。
因数分解による解き方
次の２次方程式を解きましょう。
ポイントは因数分解して$=0$を作る。
$x²-9x+8=0$を満たす$x$を求めましょう。
$x²-9x+8=0$
$(x-1)(x-8)=0$
$x=1､8$
※$x=1$のとき、$(1-1)(1-8)=0$で$0×(-7)=0$となるので方程式を満たす。$x=8$のときも同様。
では問題です。次の２次方程式を解きましょう。
$x²+7x-6=2x$を満たす$x$を求めましょう。
解の公式の証明
$ax²+bx+c=0$が$x=\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$となることを証明しましょう。
$ax²+bx+c=0$
$x²+\displaystyle \frac{b}{a}x+\displaystyle \frac{c}{a}=0$($()²$を作るために$a$で割る)
$x²+\displaystyle \frac{b}{a}x=-\displaystyle \frac{c}{a}$
$x²+\displaystyle \frac{b}{a}x+(\displaystyle \frac{b}{2a})²=-\displaystyle \frac{c}{a}+(\displaystyle \frac{b}{2a})²$
(真ん中の数$÷2$をして$2$乗する。この場合は$\displaystyle \frac{b}{a}÷2=\displaystyle \frac{b}{2a}$、($\displaystyle \frac{b}{2a})²$を両辺に足す。)
$(x+\displaystyle \frac{b}{2a})²=-\displaystyle \frac{4ac}{4a²}+\displaystyle \frac{b²}{4a²}$
$(x+\displaystyle \frac{b}{2a})²=\displaystyle \frac{b²-4ac}{4a²}$
$x+\displaystyle \frac{b}{2a}=±\sqrt{\displaystyle \frac{b²-4ac}{4a²}}$
$x=-\displaystyle \frac{b}{2a}±\displaystyle \frac{\sqrt{b²-4ac}}{2a}$
$x=\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$
動画で理解しよう！ここまでの内容だよ
不明点があればコメントよりどうぞ。