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立体の体積の基本

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2018年3月9日立体の表面積と体積中学3年生, 難易度★★

問題1図のように、立体ABCD-EFGHにおいて、面ABCDと面EFGHは1辺の長さがそれぞれ2cm,4cmの正方形であり、この2つの面は平行である。また、それ以外の4つの面は、すべて台形でAE=BF=CG=DH=3cmである。
(1)辺ABとねじれの位置にある辺をすべて求めよ。
(2)線分AFの長さを求めよ。
(3)立体ABCD-EFGHの体積を求めよ。
立体の表面積と体積1

方針立体の問題は、部分的に取り出して考えるとわかりやすい。

(2)の問題の考え方

台形ABFEを取り出して考えてみる。
立体の表面積と体積2
Aから垂線を引き交点をIとする。これで三平方の定理で求められる。
立体の表面積と体積3

(3)の問題の考え方

自分の知っている体積になるように補助線を引くと、
立体の表面積と体積4
O-ABCDとO-EFGHは三角錐となる。
Oから面ABCDとEFGHに垂線を引き高さを求める。
立体の表面積と体積5
図のようにI,I’とする。高さを含む図を取り出す。
立体の表面積と体積6
ここで△OAI∽△OEIなので高さは求まる。
※AI’、EI、I’Iは三平方の定理で求まる。
求める体積はO-EFGHからO-ABCDを引けばよい。

(1)の問題

よって辺EH、辺FG、辺DH、辺CG

(2)の問題

立体の表面積と体積3
図より、△AEIに三平方の定理を用いて
$AI²=AE²-EI²$
$AI²=3²-1²$
$AI²=8$
次に△AFIに三平方の定理を用いて
$AF²=AI²+FI²$
$AF²=8+3²$
$AF=\sqrt{17}$
よって
$AF=\sqrt{17}$

(3)の問題

立体の表面積と体積6
まずEIの長さを求める。
立体の表面積と体積7
EIの長さはEGの長さの半分なので、
EGの長さを求める。
△EGFは特別な三角形(45°、45°、90°)より
$EG=4\sqrt{2}$
よって
$EI=2\sqrt{2}$
次にAI’を求める。
立体の表面積と体積8
AI’の長さはACの長さの半分なので、
ACの長さを求める。
△ABCは特別な三角形(45°、45°、90°)より
$AC=2\sqrt{2}$
よって
$AI’=\sqrt{2}$
最後にII’の長さを求める。
II’を含む、図形を取り出すと。
立体の表面積と体積9
II’はAJと同じ長さになる。
図より、△AEJに三平方の定理を用いて
$AJ²=AE²-EJ²$
$AJ²=3²-\sqrt{2}²$
$AJ=\sqrt{7}$
よって
$II’=\sqrt{7}$
これらを最初の図に書きこむと、
立体の表面積と体積10
△OAI∽△OEIなので
$AI’:EI=OI’:OI$
$\sqrt{2}:2\sqrt{2}=OI’:OI$
$1:2=OI’:OI$
$OI’=\sqrt{7}$
これよりO-ABCDの体積は
$AB×BC×OI’÷3$
$=2×2×\sqrt{7}÷3$
$=\displaystyle \frac{4\sqrt{7}}{3}$
またO-EFGHの体積は
$EF×FG×OI÷3$
$=4×4×2\sqrt{7}÷3$
$=\displaystyle \frac{32\sqrt{7}}{3}$
よって求める体積は
$\displaystyle \frac{32\sqrt{7}}{3}-\displaystyle \frac{4\sqrt{7}}{3}$
$=\displaystyle \frac{28\sqrt{7}}{3}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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