連立方程式の練習問題２

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ポイント「食塩の量は混ぜる前、混ぜた後でも変わらない。」
$8％$の食塩水を$xg$、$4％$の食塩水を$yg$とすると
「$x+y=400$・・・➀」になります。（食塩水の関係）
食塩の量は混ぜる前、混ぜた後でも変わらないので、
「$\displaystyle \frac{8}{100}×x+\displaystyle \frac{4}{100}×y=\displaystyle \frac{5}{100}×400$・・・➁」（食塩の関係）

➁を$100$倍して、
$8x+4y=2000$
$2x+y=500$
$y=-2x+500$・・・➂

➂を➀に代入して、
$x-2x+500=400$
$-x=-100$
$x=100$・・・④

➃を➂に代入して、
$y=-200+500$
$y=300$
これより$8％$の食塩水を$100g$、$4％$の食塩水を$300g$

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ポイントは「$6$年後には父親も$A$さんも$6$才年をとること」
現在の$A$さんの年齢を$x$才、父親の年齢を$y$才とすると、
現在の父親の年齢は$A$さんの年齢の$4$倍なので「$y=4x$・・・➀」
$6$年後には父親の年齢は$A$さんの年齢の$3$倍なので「$y+6=(x+6)×3$・・・➁」

➁を➀に代入して
$4x+6=(x+6)×3$
$4x+6=3x+18$
$x=12$

➀に代入して
$y=48$
これより現在の$A$さんの年齢は$12$才、父親の年齢$48$才

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ポイントは「代金$x$の$10％$引きは$(1-0.1)x=0.9x$」これを覚えていれば使えます。
$A,B$の定価をそれぞれ$x,y$円とすると、
$A$を$1$個、$B$を$2$個買い、定価通りだと、合計$3000$円なので「$x+2y=3000$・・・➀」
$A$は定価の$10％$引き、$B$は定価の$20％$引きで、代金は$2650$円なので「$0.9x+2×0.8y=2560$・・・➁」

➁を計算して、
$9x+16y=25600$・・・➂
➀$×8-$➂より
$8x+16y-9x-16y=24000-25600$
$-x=-1600$
$x=1600$・・・➃

➃を➀に代入して、
$1600+2y=3000$
$2y=1400$
$y=700$
$A$の定価は$1600$円、$B$の定価は$700$円

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具体例を考えると、$\displaystyle \frac{15}{12}=\displaystyle \frac{3×5}{3×4}=\displaystyle \frac{5}{4}$
ポイント「約数は分子、分母共に同じ数」になっている。
分母を$x$、分子を$y$とすると、
分母と分子の和が$216$なので、「$x+y=216$・・・➀」
aを分母・分子の約数とする。約分すると$\displaystyle \frac{3}{5}$なので、「$\displaystyle \frac{ay}{ax}=\displaystyle \frac{3}{5}$・・・➁」

➁を計算すると
$\displaystyle \frac{y}{x}=\displaystyle \frac{3}{5}$
$5y=3x$
$y=\displaystyle \frac{3}{5}x$・・・➂

➂を➀に代入して、
$x+\displaystyle \frac{3}{5}x=216$
$5x+3x=216×5$
$x=\displaystyle \frac{216×5}{8}$
$x=135$・・・➃
➀に代入して$y=81$
これより求める分数は$\displaystyle \frac{81}{135}$

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ポイントは式が３つになっても文字を消すように式変形すること。
➀を計算して
$x=3+z-y$
これを➁、➂に代入して
$4(3+z-y)-y-2z=10$
$12+4z-4y-y-2z=10$
$2z-5y=-2$・・・➃

$3+z-y+5y+z=19$
$2z+4y=16$・・・➄

➃$-$➄より
$2z-5y-2z-4y=-2-16$
$-9y=-18$
$y=2$・・・➅

➅を➃に代入して
$2z-10=-2$
$z=4$・・・➆
➅、➆を$x=3+z-y$に代入して
$x=5$
これより$x=5,y=2,z=4$