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数と規則性

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2018年3月9日数と式中学1年生, 中学2年生, 中学3年生, 難易度★★

問題12(1)
$2$つの数$a、b$に対して記号$◎$を次のように約束します。
$a◎b=(a-b)b$このとき$(x◎2)◎x=$5を満たす正の整数$x$を求めなさい。

(2)
$2²⁷$の$1$の位の数字はいくつですか。

(1)
$x◎2=(x-2)2=2x-4$
$(2x-4)◎x=5$
$(2x-4-x)x=5$
$(x-4)x=5$
$x²-4x-5=0$
$(x-5)(x+1)=0$
$x=5、-1$
$x$は整数なので$5$

(2)
$2¹=2$
$2²=4$
$2³=8$
$2⁴=16$
$2⁵=32$
$2⁶=64$
・・・
$2、4、6、8$の順で巡回していることがわかる。よって
$27=4×6+3$
なので
$2²⁷$の$1$の位の数字は$8$

不明点があればコメント欄よりお願いします。

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