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整数と割り算、因数分解の関係

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2018年3月9日数と式中学3年生, 難易度★★★

問題11(1)
ある自然数$n$は$3、4、5$のどの数で割っても$2$余り、$7$で割ると割り切れる。このような$n$で最小のものを求めなさい。

(2)
$m²-n²=21$を満たす自然数$(m、n)$の組すべて求めなさい。ただし$m>n$とする。

(1)
$3、4、5$のどの数で割ってもあまりは$2$よって$k$を使ってこのように表される。
$n=60k+2$($k$は整数)
またこの$n$が$7$の倍数より以下のように式変形する。
$n=7×8k+4k+2$

$n$が$7$で割り切れるので、$4k+2$が$7$の倍数になればよい。よって$k=3$。これを$n$に代入して$n=182$
(2)
$(m+n)(m-n)=21$となる。
$m>n$より$m-n>0$という条件の下で考えると以下の式になる。

$1. m+n=21、m-n=1$
$2. m+n=7、m-n=3$
$3. m+n=3、m-n=7$
$4. m+n=1、m-n=21$

これを計算して$(m、n)=(11、10)、(5、2)$

不明点があればコメント欄よりお願いします。

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