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関数と相似比の関係

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2018年3月9日関数中学3年生, 難易度★★★

問題10
関数_25
図において、直線①は関数$y=x$のグラフ、直線②は関数$y=-x+2$のグラフであり、曲線③は関数$y=ax²$のグラフである。
点$A$は直線①と曲線③との交点で、その$x$座標は$2$である。
点$B$は曲線③上の点で、線分$AB$は$x$軸に平行である。
また、原点を$O$とするとき、点$C$は直線①上の点で、$AO:OC=2:3$であり、その$x$座標は負である。
さらに、点$D$は直線①と直線②との交点であり、点$E$は直線②上の点で、その$x$座標は$3$である。
ア、$a$の値を求めなさい。
イ、直線$BC$の式を求めなさい。
ウ、点$F$は線分$CE$上の点である。
直線$DF$が三角形$ACE$の面積を$2$等分するとき、点$F$の$x$座標を求めなさい。

ア、
点$A$の$y$座標は関数$y=x$のグラフ上なので、$x=2$を代入して$y=2$、よって点$A(2,2)$

イ、
点$B$の$x$座標は点$A$の$x$座標を$y$軸に対象移動させたものなので、$-2$。
$y$座標は点$A$の$y$座標と同じで$2$、よって$B(-2,2)$。$AO:OC=2:3$なので、
関数_27
図のように補助線を引くと△$AOG$∽△$COH$($2$角が等しい)よって
$AO:OC=OG:OH$
$2:3=2:OH$
$OH=3$
ゆえに点$C$の$x$座標は$-3$で$y$座標は関数$y=x$に代入して$y=-3$、よって点$C(-3,-3)$

直線$BC$を求める。$1$次関数$y=ax+b$に点$B,C$の値を代入。
$\begin{equation}\begin{cases}\; 2=-2a+b・・・① \\\; -3=-3a+b・・・②\end{cases}\end{equation}$
①-②より
$2-(-3)=3a-2a$
$5=a$
$a=5$・・・③
③を①に代入して、
$2=-10+b$
$b=12$
これより直線$AB$は$y=5x+12$

ウ、
関数_28
図のように補助線を引き交点を$I$とし、$F$の$x$座標を$a$とする。
△$ACE$の面積は$AC×DE÷2$
$DE$は三平方の定理より、
$DE²=AE²-AD²$
$DE²=(3-1)²+(1-(-1))²$
$DE²=4+4$
$DE=2\sqrt{2}$

よって△$ACE$の面積は
$5×2\sqrt{2}÷2$
$=5\sqrt{2}$

関数_28
△$DCF$の面積は$DC×FI÷2$

点$D$は$AO$の中点なので、$DO=1$、よって$DC=4$

△$CFI$∽△$CED$(2角がそれぞれ等しい)なので、
$CF:CE=FI:ED$
$a+3:3-(-3)=FI:2\sqrt{2}$
$6FI=2\sqrt{2}(a+3)$
$FI=\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+3)}{3}$

よって△$DCF$の面積は
$4×\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+3)}{3}÷2$
$=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}(a+3)}{3}$

△$DCF$の面積の$2$倍が△$ACE$なので、
$2×\displaystyle \frac{2\sqrt{2}(a+3)}{3}=5\sqrt{2}$
$\displaystyle \frac{4(a+3)}{3}=5$
$4(a+3)=15$
$4a+12=15$
$a=\displaystyle \frac{3}{4}$

よって点$F$の$x$座標は$\displaystyle \frac{3}{4}$

不明点があればコメント欄よりお願いします。

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