三平方の定理の練習問題１

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（１）
点$A$は$(-3,3)$、点$B$は$(6,12)$
これと三平方の定理より
$AB²=9²+9²$
$AB²=2×81$
$AB=9\sqrt{2}$

（２）
直線$AB$を求めると
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3=-3a+b \\ 12=6a+b \end{array} \right.\end{eqnarray}$
この連立方程式をといて
$y=x+6$
△$OAB$
$=6×3÷2+6×6÷2$
$=27$
△$OAB$の面積は$27$

（３）点$O$からの垂線と直線$AB$との交点を$C$とする。

三角形の面積より
$27=AB×CO÷2$
$27=9\sqrt{2}×CO÷2$
$CO=\displaystyle \frac{27×2}{9\sqrt{2}}$
$CO=\displaystyle \frac{27×2×\sqrt{2}}{9×2}$
$CO=3\sqrt{2}$

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ポイントは「正三角形だから角が$60°$なので、特別な三角形がある」
$DF//AC$より
$∠FAE=∠BFD=60°$
△$BFD$は正三角形になり、
これより$FD=5cm$

△$ECD$について
これは$30､60､90°$の三角形より
$2:√3=6:ED$
$ED=3√3$
また∠$FDE=180-$∠$FDB-$∠$EDC$
$=180-60-30$
$=90$

三平方の定理より
$FE²=5²+(3\sqrt{3})²$
$FE²=52$
$FE=2\sqrt{13}$

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（１）
$MF=FC$なので
$MF=9-x$

（２）
三平方の定理より
$(9-x)²=x²+6²$

（３）
$81-18x+x²=x²+36$
$-18x=-45$
$x=\displaystyle \frac{5}{2}$

$DF$の長さは$\displaystyle \frac{5}{2}cm$

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（１）

中点連結定理より$MN=\displaystyle \frac{1}{2}×DC=6$
△$ONA$について
これは$30､60､90°$の三角形より
$6:NA=1:\sqrt{3}$
$NA=6\sqrt{3}$
同様に$MB=6\sqrt{3}$

（２）

$AO$の長さは$(AB-NM)÷2$
$AO=(12-6)÷2$
$AO=3$

これより三平方の定理より
$(6\sqrt{3})²=3²+NO²$
$NO²=99$
$NO=3\sqrt{11}$
よって台形の面積は
$(6+12)× 3\sqrt{11}÷2$
$=27\sqrt{11}$

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（１）

三角形$ABC$は正三角形なので
∠$A$は$60°$また、$E$は中点なので垂線となり∠$E$は$90°$
これより三角形$CAE$について
$30､60､90°$の三角形より
$3:EC=1:\sqrt{3}$
$EC=3\sqrt{3}$

（２）

二等辺三角形の頂点から降ろした垂線と底辺の交わる点を$O$とする。
これは底辺の中点であるから
$CO=3､EC=3\sqrt{3}$
三平方の定理より
$EO²=(3\sqrt{3})²-3²$
$EO²=18$
$EO=3\sqrt{2}$
これより△$ECD$の面積は
$6×3\sqrt{2}÷2$
$=9\sqrt{2}$

（３）
$EA⊥EC$、$ EA⊥ED$、より$AE$は面$ECD$に垂直である。
よって
$A-ECD$の体積は
$9\sqrt{2}×3×\displaystyle \frac{1}{3}=9\sqrt{2}$
また$B-ECD$の体積は$A-ECD$の体積と同じなので
正四面体の体積は$18\sqrt{2}$