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関数と等積変換

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2018年3月9日関数中学3年生, 難易度★★

問題8関数$y=2x²$のグラフ上に$2$点$A,B$がある。
点$A$の$x$座標は$-1$,点$B$の座標は$(2,8)$である。
ア、点$A$の$y$座標を求めなさい。
イ、直線$AB$の式を求めなさい。
ウ、関数$y=2x²$のグラフ上の点で、$2$点$O,B$の間にある点$P$をとると、△$APB$の面積は△$OAB$の面積に等しくなった。
点$P$の座標を求めなさい。但し点$P$は点$O$と異なる点とする。

ア、
点$A$の$x$座標は$-1$なので$y=2x²$に代入し、$y$座標は$y=2$となる。

イ、
直線$AB$を求める。$1$次関数$y=ax+b$に点$A,B$の値を代入
$\begin{equation}\begin{cases}\; 2=-a+b・・・① \\\; 8=2a+b・・・②\end{cases}\end{equation}$
①-②より
$2-8=-a-2a$
$-6=-3a$
$a=2$・・・③
③を①に代入して
$2=-2+b$
$b=4$
これより直線$AB$は$y=2x+4$

ウ、
△$APB$の面積は△$OAB$の面積に等しくなるので、面積を求めて、点$P$を出しても可能だが、ひと工夫する。

関数_21
△$APB$の面積と△$OAB$の面積は底辺$AB$を共通にもつ。
つまり高さが等しくなれば良い。
高さを等しくするには、$OP//AB$となればよい。
イより直線$OP$の式は$y=2x$となる。
これと$y=2x²$の交点を求める。
$2x²=2x$
$2x²-2x=0$
$2x(x-1)=0$
$x=0,1$
点$P$は点$O$と異なる点なので、$x=1$よって$y=2$となる。求める点$P$は$(1,2)$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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