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重なる円と円周の関係を推測する問題

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2019年3月16日裁量問題中学1年生, 中学2年生, 中学3年生, 難易度★★

問題18次の図は、半径3㎝の円を《ルール》にしたがって、1番目に2個、2番目に3個、3番目に4個、…、と並べたものである。図の太線は、それぞれの図形の周囲を表す。ただし、円周率を$π$とする。


《ルール》
・それぞれの円の中心が一直線上にある。
・隣り合う円の中心の距離が半径と等しい。

(1)1番目の図形の周囲の長さを求めなさい。
(2)2番目の図形の周囲の長さは、1番目の図形の周囲の長さより何㎝長いか求めなさい。
(3)$n$番目の図形の周囲の長さを、$n$を用いた式で表しなさい。

方針

増えていく周の長さはあるところだけであることを見抜く。
補助線を引いておうぎ形の中心角を求める

(1)
補助線をこのように引くと、

すべての辺の長さが3とわかるので、正三角形となっている。
つまり角度はすべて60°となっている。

黄色の部分(円周)を求めると
$3×2×π×\displaystyle \frac{120}{360}$
$=2π$

これより求める円周は「円周-黄色の部分(円周)」を求めて2倍すればよい、
よって
$(3×2×π-2π)×2$
$=8π$

増えている箇所を探すと・・・

(2)

増えている部分は、黄色の箇所で図のように補助線を引くと、
中心角が60°のおうぎ形の円周とわかる。
よって
$3×2×π×\displaystyle \frac{60}{360}$
$=π$
これが2つあるので、
$2π$

$2π$ずつ増えていくから・・・

(3)
1番目の図形の円周は$8π=8π+2π×0$
2番目の図形の円周は$10π=8π+2π×1$
3番目の図形の円周は$10π=8π+2π×2$
・・・
$n$番目の図形の円周は$8π+2π×(n-1)$
$=2πn+6π$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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