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円が2つある相似の証明問題と面積を求める問題

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2018年3月9日図形と証明中学3年生, 難易度★★

問題9図のように、線分ABを直径とする円Oと直線ℓがあり、ℓは点Bで円Oに接している。円Oの円周上に点Cをとり、△ABCをつくる。直線ACとℓとの交点をDとする。
図形と証明33
(1)∠ACBの大きさを求めなさい。
(2)△ABC∽△ADBを証明しなさい。
(3)図2は図1において、点Dでℓに接する円O’を書いたものである。線分OO’をひき、ℓとOO’との交点をEとする。OO’=5cm、円O、O’の半径をそれぞれ1cm、2cmとするとき、線分DEの長さを求めなさい。
図形と証明34
(4)図の3は、図2において、線分DOをひいたものである。∠DO’Oの二等分線とDOとの交点をFとするとき、△DO’Fの面積を求めなさい。
図形と証明35

方針

2つの円の問題は補助線を引くとうまく考えられる。
(1)、(2)円なので角に注目して考える

図形と証明36
(1)円周角の定理より、∠ACB=90°
△ABCと△ADBにおいて、
接線と円の関係より∠ABD=90°
(1)より∠ACB=90°
なので∠ACB=∠ABD・・・➀
∠Aは共通・・・➁
➀、➁より2角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△ADB

(3)補助線をひいて、相似を作る。

図形と証明37
図のように補助線(垂線)を引き、Hを置く。△OHO’に三平方の定理を用いて、O’H=4cm
また、△OBE∽△OHO’(2角が等しい)ので、BEの長さは
$OB:OH=BE:HO’$
$1:3=BE:4$
$BE=\displaystyle \frac{4}{3}$

よってDEの長さは
$DE=4-\displaystyle \frac{4}{3}$
$DE=\displaystyle \frac{8}{3}$

(4)角の2等分線から比の値がわかるので、面積比を考える。

図形と証明38
図のようにIを置き、IOを結ぶ。
△DO’F=△DIO’+△DIFで考える

△DIFを求める。
角の2等分線より、
$DF:FO=O’D:O’O$
$DF:FO=2:5$

O’Eの長さは三平方の定理より、
$O’E²=O’D²+DE²$
$O’E²=4+\displaystyle \frac{64}{9}$
$O’E=\displaystyle \frac{10}{3}$

先ほどと同様に角の2等分線より、
$DI:IE=O’D:O’E$
$DI:IE=2:\displaystyle \frac{10}{3}$
$DI:IE=3:5$

これよりIEの長さは
$IE=\displaystyle \frac{5}{8}×DE$
$IE=\displaystyle \frac{5}{8}×\displaystyle \frac{8}{3}$
$IE=\displaystyle \frac{5}{3}$

これより△DIFの面積は
△$DIF=\displaystyle \frac{2}{7}$△$DIO$
△$DIO=\displaystyle \frac{3}{5}$△$OIE$

ゆえに
△$DIF=\displaystyle \frac{2}{7}×\displaystyle \frac{3}{5}$△OED
△$DIF=\displaystyle \frac{6}{35}×\displaystyle \frac{5}{3}×1÷2$
△$DIF=\displaystyle \frac{1}{7}$

△DIO’を求める。
△$DIO’=2×1÷2$
△$DIO’=1$

これより求める面積は
△$DO’F=1+\displaystyle \frac{1}{7}$
△$DO’F=\displaystyle \frac{8}{7}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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