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円の性質

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2019年3月16日円の性質中学3年生

円周角の定理特徴は以下になります。
1.中心角は円周角の2倍である。∠$BOC=2$∠$BAC$
円_2
2.同じ弧$(BC)$に対する円周角は等しい。∠$BDC=$∠$BAC$
円_3
3.半円の弧$(BC)$に対する円周角は直角(90°)である。
円_4

では問題です。図で、∠$BAC=40°$のとき、∠$x$の値を求めなさい。
円_10

弧と円周角の関係特徴は以下になります。
1.等しい弧に対する円周角は等しい。$\stackrel{ \Large \frown }{ BC }=$$\stackrel{ \Large \frown }{ FE }$ならば∠$BAC=$∠$FDE$
円_5
2.等しい円周角に対するは等しい。∠$BAC=$∠$FDE$ならば$\stackrel{ \Large \frown }{ BC }=$$\stackrel{ \Large \frown }{ FE }$
円_6
3.円周角の大きさは弧の長さに比例する。$\stackrel{ \Large \frown }{ BE }=2$$\stackrel{ \Large \frown }{ FE }$ならば∠$BAE=2$∠$FDE$
円_7
円周角の定理の逆名前の通り円周角の逆になります。
1.$2$点$P,Q$が直線$AB$について同じ側にあって、∠$APB=$∠$AQB$ならば、$4$点$A,B,P,Q$は$1$つの円周上にある。これはよく入試で出るので、必ず理解してください。差がつく問題です。
円_8
2.∠$APB=90°$のときは点$P$は$AB$を直径とする円周上にある。
円_9
これらは主に相似を証明するときに使います。
円と接線の関係以下の特徴があります。
1.円の接線($m$)は接点を通る半径に垂直である。
円_11
2.円外の点($B$)から、その円に引いた接線の長さ($BA=BC$)は等しい。
円_12

では問題です。図で、円$O$は△$ABC$の$3$辺に接している。$AB=13$,$BC=14$,$CA=15$、△$ABC$の面積が$84cm²$のとき、円$O$の半径は何$cm$ですか。
円_13

では問題です。図で、線分$AB$は円の直径であり、点$C$、$D$はこの円の周上にある。点$D$から線分$AC$に垂線をひき、その交点を$E$とする。このとき△$ABD$∽△$DCE$であることを証明せよ。
円_15

実際の受験問題を解いてみましょう。
受験問題

不明点があればコメント欄よりお願いします。

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