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直角三角形と円周角の定理を利用した合同の証明問題

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2018年3月9日図形と証明中学3年生, 難易度★★

問題5図のように、線分ABを直径とする円の周上に、2点C,Dを∠BAC=∠BADとなるようにとる。ただし、AC>BCとする。また、直線ACと直線DBとの交点をE、直線ADと直線CBとの交点をFとする。このとき、BE=BFとなることを証明しなさい。
図形と証明16

方針

辺と角の情報でどちらが多いか考える。この場合は円があるから角の方が多いから角に関する相似・合同の条件を考える。
BE=BFなので、△CBEと△DBFを示す。そのためにまずは△ABCと△ABDを示す。

図形と証明18
△ABCと△ABDにおいて、
仮定より、∠BAC=∠BAD・・・①
線分ABは直径なので円周角の定理より、
∠ACB=∠ADB・・・②
またABは共通・・・③
➀、②、③より
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ABC≡△ABD・・・④

また△CBEと△DBFについて
∠BCE=∠BDF=90°・・・⑤
対頂角より、∠CBE=∠DBF・・・⑥
④よりBC=BD・・・⑦
⑤、⑥、⑦より
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△CBE≡△DBF
対応する辺はそれぞれ等しいので、
BE=BF


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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