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接線と円と合同の証明問題

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2019年3月16日図形と証明中学3年生, 難易度★★★

問題15図$1$で$2$つの直線$ℓ,m$は、点$O$を中心とする円にそれぞれ点$P,Q$で接し、点$A$で交わっている。
直線$ℓ$上に点$R$を、点$A$に対して点$P$と反対側にとり、∠$QAR$を$45°$より大きく$90°$より小さい角とする。
点$O$と点$A$、点$O$と点$P$、点$O$と点$Q$をそれぞれ結ぶ。
図形と証明210
(1)∠$QAR=70°$のとき、∠$AOQ$の大きさは何度ですか。
(2)図$2$は図$1$において、点$P$を通り直線$m$に平行な直線と円$O$との交点のうち、点$P$と異なる点を$B$、$2$点$O,B$を通る直線と$2$つの直線$ℓ,m$との交点をそれぞれ$C,D$とし$PB=PC$とする。
問1、△$OPC≡$△$OQD$を証明しましょう。
問2、円$O$の半径が$3cm$のとき、△$OAC$の面積を求めましょう。
図形と証明211

方針

円と接線から様々な角度に注目する。
様々な角度を求める。

(1)
図形と証明212
接線と円の関係より、∠$OPA=$∠$OQA=90°$
また、$AP=AQ$となる。
△$OPA≡$△$OQA$なので
(斜辺とその他の一辺がそれぞれ等しい)

∠$QAP$
$=180-70$
$=110°$

∠$OAQ$
$=110÷2$
$=55$

これより
∠$AOQ$
$=180-90-55$
$=35°$

円と接線の関係から様々な角度がわかるので角を中心に合同条件を探す。

問1
図形と証明213
△$OPC$と△$OQD$において、
円の半径より$OP=OQ$・・・➀
円と接線の関係より、
∠$OPC=$∠$OQD=90°$・・・➁
$CP=PB$より△$CPB$は二等辺三角形なので、
∠$PCB=$∠$PBC$・・・➃
$PB//AD$より同位角が等しいので、
∠$PBC=$∠$QDO$・・・➄

➃、➄より∠$PCB=$∠$QDO$・・・➅
三角形の内角の和は$180°$であり、
➁と➅より
∠$POC=$∠$QOD$・・・➆
➀、➁、➆より
$1$辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△$OPC≡$△$OQD$

円周角の定理を用いて角度を考える。

問2
図形と証明214
∠$PBC=a°$とすると、
円周角の定理より、
∠$COP=2a°$
また△$CPB$は二等辺三角形なので、
∠$PCB=a°$

これより△$POC$の内角の和は$180°$より
$180=a+2a+90$
$a=30°$
これより△$OPC$は$30,60,90°$の特別な三角形なので、
$CP=3\sqrt{3}$

また、∠$POC=$∠$QOD=60°$なので
∠$POQ=60°$
ゆえに∠$POA=30°$
これより△$OPA$は$30,60,90°$の特別な三角形なので、
$1:\sqrt{3}=PA:3$
$PA=\sqrt{3}$

求める面積は
$CA×OP÷2$
$=4\sqrt{3}×3÷2$
$=6\sqrt{3}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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