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平行四辺形の合同の証明と角度を求める問題

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2018年3月9日図形と証明中学2年生, 中学3年生, 難易度★★

問題10図のように、平行四辺形ABCDがあり、点Eは辺BC上の点で、AB=AEである。
図形と証明39
(1)△ABC≡△EADを証明しなさい。
(2)∠BAE=40°、AC⊥DEのとき、∠CAEの大きさを求めよ。

方針

平行四辺形の特徴を考えると錯角と対応する辺はそれぞれ等しい。
(1)平行四辺形の特徴を考える

図形と証明40
(1)△ABCと△EADにおいて、
仮定よりAB=EA・・・➀
平行四辺形よりBC=AD・・・➁
△ABEは二等辺三角形より、∠ABC=∠AEB
また、平行四辺形より∠AEB=∠EAD
よって∠ABC=∠EAD・・・➂
➀、➁、➂より
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABC≡△EAD

(2)(1)を使うと予想してそれぞれの角を求める。

図形と証明41
∠CAE=xとすると、∠AED=90-x
∠BAE=40°なので、∠AEB=∠ABE=70°
平行四辺形なので∠AEB=∠EAD=70°
これより∠ADE=180-70-(90-x)=20+x
また、∠ACB=180-40-x-70=70-x
(1)より
∠ACB=∠EDA
70-x=20+x
x=25°


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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