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三角形と円を利用した相似の証明問題と面積比と線分の長さ

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2018年3月9日図形と証明中学3年生, 難易度★★★

問題7図で、線分AB上に点Cがあり、点Cを通り線分ABに垂直な直線上に、CB=CDとなる点Dがある。線分BDの延長と3点A、C、Dを通る円との交点をEとし、線分ADの延長と3点B、C、Dを通る円との交点をFとする。
(1)△ADE∽△BDFを証明しなさい。
(2)BC=3cm、△ADEと△BDFの面積比を2:1とする。線分ACの長さと△BDFの面積を求めよ。
図形と証明23

方針

辺と角の情報でどちらが多いか考える。この場合は円があるから角の方が多いから角に関する相似・合同の条件を考える。線分の長さは証明を使うことが多い。
(1)角に注目して考える

△ADEと△BDFにおいて、
対頂角より、∠ADE=∠BDF・・・➀
垂線より∠DCB=90°なので、線分BDは円の直径なので、円周角の定理より∠BFD=90°
また、∠ACD=90°なので、線分ADは円の直径なので、円周角の定理より∠AED=90°
よって∠AED=∠BFD・・・➁
➀、➁より2角がそれぞれ等しいので、△ADE∽△BDF

(2)ACの長さはADの長さがわかればよい。(1)の△ADE∽△BDFを用いると

図形と証明25
(1)
△CBDは45、45、90°の特別な三角形なので、
$BD=3\sqrt{2}$
△ADEと△BDFの面積比は
$2:1$なので、相似比は
$\sqrt{2}:1$

よって
$AD:BD=\sqrt{2}:1$
$AD:3\sqrt{2}=\sqrt{2}:1$
$AD=6$

△CDAに三平方の定理より、
$AC²=AD²-DC²$
$AC²=6²-3²$
$AC=3\sqrt{3}$

ACの長さがわかると、△CDAは30、60、90°の三角形になる。

図形と証明26
∠DAC=30°、∠CDA=60°、∠CDB=∠CBD=45°より
∠ADE=75°ゆえに∠EAD=15°
これより△EABは45、45、90°の三角形になる。

よって
$AE:AB=1:\sqrt{2}$
$AE:(3+3\sqrt{3})=1:\sqrt{2}$
$AE=\displaystyle \frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$

これよりDEの長さは
$DE=EB-DB$
$DE=\displaystyle \frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{2}$
$DE=\displaystyle \frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}$

これより△ADEの面積は
$AE×DE÷2$
$=(\displaystyle \frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2})×(\displaystyle \frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2})÷2$
$=\displaystyle \frac{9}{2}$

△ADEと△BDFの面積比を2:1なので△BDFの面積は
$\displaystyle \frac{9}{4}$


不明点があればコメント欄よりお願いします。

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